Kezdőlap


Feladat:	1589. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Hodossy László
Füzet:	1968/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgatva nyújtás, Parabola egyenlete, Párhuzamos szelők tétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1589. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a húr $P_{1}$ , $P_{2}$ végpontjainak koordinátái: $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ , az adott pont $C$ , úgy hogy $P_{1} C : C P_{2} = 1 : 4$ . Ekkor

\begin{matrix} y_{1}^{2} & = 4 x_{1}, & (1) \\ y_{2}^{2} & = 4 x_{2} . & (2) \end{matrix}

Legyen továbbá

C

és

P_{2}

vetülete a

P_{1}

-en át az

x

tengellyel párhuzamosan húzott egyenesen

C'

P'_{2}

(1. ábra).

1. ábra

A szög párhuzamos szelőinek tételei alapján

P_{1} C' : C' P'_{2} = P_{1} C : C P_{2} = 1 : 4

, eszerint

\begin{matrix} (8 - x_{1}) : (x_{2} - 8) = 1 : 4, \end{matrix}

\begin{matrix} 4 x_{1} + x_{2} = 40, \end{matrix}

(3)

és ugyanígy

\begin{matrix} (4 - y_{1}) : (y_{2} - 4) = 1 : 4 \end{matrix}

\begin{matrix} 4 y_{1} + y_{2} = 20. \end{matrix}

(4)

(Az utóbbi két egyenlet együttvéve azt is kifejezi, hogy

C

rajta van a

P_{1} P_{2}

egyenesen. A szög létrejön, mert az

x

tengellyel párhuzamos egyenesek az adott parabolát csak egy pontban metszik,

P'_{2}

nem azonos

P_{2}

-vel, másrészt a szög nem derékszög, mert a

C

-n átmenő és az

x

tengelyre merőlegesen álló egyenes a parabolát a

+ 4 \sqrt[]{2}

és

- 4 \sqrt[]{2}

ordinátájú pontokban metszi, és e húron a részek aránya

\begin{matrix} \frac{4 \sqrt[]{2} - 4}{4 + 4 \sqrt[]{2}} = 3 - 2 \sqrt[]{2}, \end{matrix}

ami nem egyenlő sem 4-gyel, sem 1/4-del.
Helyettesítsük (3)-ba

x_{1}

-nek és

x_{2}

nek (1) és (2) alapján adódó kifejezését, majd

y_{2}

-nek (4)-ből adódó kifejezését, így

y_{1}

-re egyismeretlenes egyenletet kapunk:

\begin{matrix} y_{1}^{2} - 8 y_{1} + 12 = 0, amiből y'_{1} = 2, y''_{1} = 6. \end{matrix}

(5)

Eszerint két húrt kapunk az előírt tulajdonsággal:

\begin{matrix} y'_{1} & -ből: & P'_{1} & (1,2), & P'_{2} & (36,12); \\ y''_{1} & -ből: & P''_{1} & (9,6), & P''_{2} & (4, - 4) . \end{matrix}

Valóban, mindkét húr megfelel a követelménynek.
Hodossy László (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Célhoz érünk úgy is, hogy a húrt kimetsző szelő egyenes

m

iránytangensét vesszük ismeretlennek. A metszéspontok ordinátáira:

\begin{matrix} y_{1,2} = \frac{2}{m} \mp \sqrt[]{\frac{4}{m^{2}} - \frac{16}{m} + 32}, \end{matrix}

ezeket (4)-be beírva

\begin{matrix} \frac{4}{m^{2}} - \frac{16}{m} + 7 = 0, (m \neq 0, m véges), m_{1} = \frac{2}{7}, m_{2} = 2. \end{matrix}

II. megoldás.

P_{1}

úgy áll elő

P_{2}

-ből, hogy ezt

C

-re tükrözzük, vagy ami ugyanaz,

180^{\circ}

-kal elforgatjuk

C

körül, majd a képet

C

-ből mint középpontból 1/4 arányban kicsinyítjük (forgatva nyújtás). Ezt a parabola minden pontjára elvégezve egy újabb parabolát kapunk, s mivel

P_{1}

az eredeti parabolán is rajta van, a két parabola metszéspontja lesz (2. ábra).

2. ábra

Az adott parabola

O (0,0)

csúcsának

C

-re vett tükörképe

O' (16,8)

, a kicsinyített kép csúcsa

O'' (10,5)

, paramétere az adott parabola

p = 2

paraméteréből

p / 4 = 1 / 2

, és a csúcsból kiinduló, a fókuszon átmenő félegyenes iránya az

x

tengely negatív felének irányával egyezik meg. Ezek szerint egyenlete:

\begin{matrix} {(y - 5)}^{2} = - 2 \cdot \frac{1}{2} (x - 10) = 10 - x, \end{matrix}

innen

x

-et az adott

y^{2} = 4 x

-be helyettesítve ismét (5)-öt kapjuk, vagyis a fenti

P'_{1}

-t és

P'_{2}

-t.
Az 1/4 arányú kicsinyítés helyett végezhetünk 4-szeres nagyítást is, ekkor metszéspontként

P'_{2}

-t és

P''_{2}

-t kapjuk meg közvetlenül.
Vigassy Lajos