Kezdőlap


Feladat:	1588. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barra K. , Csetényi A. , Csirmaz L. , Fialovszky Alice , Göndőcs F. , Hárs L. , Kecskeméty K. , Kemény A. , Kis-Tóth Gy. , Komjáth P. , Kovalszky R. , Lempert L. , Martoni V. , Nikodémusz Anna , Papp Z. , Somogyi Kornélia , Tél T.
Füzet:	1969/január, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1588. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

( $1_{0}$ ) miatt minden $1 \leq i \leq n$ mellett $t_{i} = x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{i} \neq 0$ , így szorozhatunk ezekkel a számokkal. Szorozzuk meg az ( $1_{i}$ ) egyenletet $t_{i}$ -vel ( $i = 1,2, ..., n - 1$ ). Kapjuk, hogy

\begin{matrix} t_{1}^{2} - 1 = t_{1}, \\ t_{2}^{2} - 1 = t_{2}, \\ . \\ . \\ . \\ t_{n - 1}^{2} - 1 = t_{n - 1} . \end{matrix}

Tehát mindegyik szorzat a

\begin{matrix} t^{2} - 1 = t \end{matrix}

(2)

egyenlet megoldása, így a

\begin{matrix} t' = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}, t'' = \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2} \end{matrix}

számok egyikével egyenlő.
Mármost a

t_{1}

t_{2}

...

t_{n - 1}

számokat a

t'

t''

számok közül tetszőlegesen megválasztva a rendszer megoldása

\begin{matrix} x_{1} = t_{1}, \\ x_{2} = \frac{t_{2}}{t_{1}}, \\ . \\ . \\ . \\ x_{n - 1} = \frac{t_{n - 1}}{t_{n - 2}}, \\ x_{n} = \frac{1}{t_{n - 1}} . \end{matrix}

Ezek a számok valóban eleget tesznek az (1) rendszernek, hiszen behelyettesítés után (

1_{0}

)-ból azonosságot, (

1_{i}

)-ből a

\begin{matrix} t_{i} - \frac{1}{t_{i}} = 1 \end{matrix}

összefüggést kapjuk, ami (2) következménye, tehát választott

t_{i}

értékünk mellett (1) valóban teljesül.
A

t_{1}

t_{2}

...

t_{n - 1}

értékrendszert

2^{n - 1}

különböző módon választhatjuk meg, ennyi tehát a rendszer megoldásainak száma. Pl.

n = 2

esetén 3 tizedes jegyre kerekítve

\begin{matrix} x_{1} & t'=1, 618, & t'' = - 0, 618, \\ x_{2} & 1 / t' = 0, 618, & 1 / t'' = - 1, 618. \end{matrix}

n = 3

esetén pedig

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & t' & = 1, 618, & t' & = 1, 618, & t'' & = - 0, 618, & t'' & = - 0, 618, \\ x_{2} & \frac{t'}{t'} & = 1, & \frac{t''}{t'} & = - 0, 384, & \frac{t'}{t''} & = - 2, 618, & \frac{t''}{t''} & = 1, \\ x_{3} & \frac{1}{t'} & = 0, 618; & \frac{1}{t''} & = - 1, 618; & \frac{1}{t'} & = 0, 618; & \frac{1}{t''} & = - 1, 618. \end{matrix} \end{matrix}

Bármely megoldásban

x_{1}

értéke

t'

és

t''

valamelyike,

x_{n}

értéke a reciprokok egyike, a közbülső ismeretlenek értéke pedig a

t'

-ből és

t''

-ből képezhető hányadosok; az 1,

- t'^{2}

és

- t''^{2}

értékek valamelyike. Ennek ellenére a mondott

2^{n - 1}

megoldás mindegyike különböző, hiszen ha két megválasztás először a

t_{k}

értékében különbözik, akkor a megfelelő két megoldás

x_{k}

-ban különbözik.