Kezdőlap


Feladat:	1587. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1968/december, 203 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1587. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség bal és jobb oldalának különbsége kifejtés után így alakítható:

\begin{matrix} x^{6} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1 & = (x - 1) (x^{5} + x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - x - 1) = \\ = {(x - 1)}^{2} (x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + 1) & (2) \end{matrix}

(felhasználtuk, hogy mind a kifejtett különbségben, mind az első átalakítással adódott

5

-ödfokú polinomban az együtthatók összege

0

, eszerint

x = 1

a polinomnak zérushelye, tehát az

x - 1

gyöktényező kiemelhető). Ennek alapján azokat az

x

-eket keressük, amelyekre (2) pozitív. Mivel az

{(x - 1)}^{2}

tényező az

x = 1

hely kivételével mindenütt pozitív,

x = 1

esetén pedig

0

, azért (1) megoldását a (2)-ből adódó

\begin{matrix} x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + 1 > 0 \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenség megoldása adja, az

x = 1

hely kizárásával.
(3)-at tovább alakítjuk a bal oldal teljes négyzetté kiegészítése, felbontása és tényezőinek teljes négyzetté való kiegészítése útján:

\begin{matrix} {(x^{2} + x + 1)}^{2} - 3 x^{2} & = [x^{2} + (1 + \sqrt[]{3}) x + 1] [x^{2} + (1 - \sqrt[]{3}) x + 1] = \\ = [{(x + \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2})}^{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}] [{(x + \frac{1 - \sqrt[]{3}}{2})}^{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}] > 0. & (4) \end{matrix}

A második tényező minden

x

-re pozitív, az első pedig a zérushelyei:

\begin{matrix} x_{1} = - \frac{1 + \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}}{2} (\approx - 2, 297) és x_{2} = - \frac{1 + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}}{2} (\approx - 0, 435) \end{matrix}

közti intervallum kivételével mindenütt (a végpontokat ugyancsak kizárva), hiszen benne

x^{2}

együtthatója pozitív.
Ezek szerint (1) megoldása:

\begin{matrix} x < x_{1}, x_{2} < x < 1, x > 1. \end{matrix}

Megjegyzés. (3) megoldásában kiindulhatunk abból az észrevételből is, hogy bal oldalán az elölről és hátulról számított ugyanannyiadik tagok (amely párokban a kitevők összege 4) együtthatói páronként egyenlők. Ennek alapján az

y = x + \frac{1}{x}

x \neq 0

új változó bevezetésével

\begin{matrix} x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + 1 = x^{2} (x^{2} + 2 x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}) = x^{2} (y^{2} + 2 y - 2) > 0 \end{matrix}

teljesül, ha

\begin{matrix} y^{2} + 2 y - 2 > 0, y < - 1 - \sqrt[]{3}, y > - 1 + \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Így azonban kerülő úton jutunk (4)-hez, továbbá külön kell vizsgálnunk az

x = 0

esetet.