Kezdőlap


Feladat:	1586. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1968/november, 132 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egész számok összege, Köbszámok összege, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1586. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$n$ -nek legkisebb, szóba jövő értékére, $n = 2$ -re $K$ értéke $(33 - 9) / (33 - 27) = 4$ , így azt kell bizonyítanunk, hogy minden pozitív egész $n (> 1)$ esetén $4 - K$ , azaz

\begin{matrix} \frac{3 (1^{5} + 2^{5} + ... + n^{5}) + (1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3}) - 4 {(1 + 2 + ... + n)}^{3}}{(1^{5} + 2^{5} + ... + n^{5}) - {(1 + 2 + ... + n)}^{3}} \end{matrix}

értéke

0

, és természetesen hogy a nevező

0

-tól különböző (

n = 1

esetén a nevező

0

K

nincs értelmezve). Minden

n > 0

esetén, mint ismeretes¹

\begin{matrix} 1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}, és \\ 1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2}, & (1) \end{matrix}

így az állítás egyenértékű azzal, hogy

n > 1

-re

\begin{matrix} 1^{5} + 2^{5} + ... + n^{5} = \frac{1}{3} [- (1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3}) + 4 {(1 + 2 + ... + n)}^{3}] = & (2) \\ \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{12} [2 n (n + 1) - 1] . \end{matrix}

Ezt fogjuk bizonyítani a teljes indukció módszerével.

n = 2

-re (2) helyességét már láttuk. (Egyébként (2) az

n = 1

esetre is helyes.) Feltesszük; hogy (2) helyes valamely

k

természetes szám esetében:

\begin{matrix} 1^{5} + 2^{5} + ... + k^{5} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{12} [2 k (k + 1) - 1], \end{matrix}

'

)

és bebizonyítjuk, hogy helyes az

1

-gyel nagyobb számra is:

\begin{matrix} 1^{5} + 2^{5} + ... + k^{5} + {(k + 1)}^{5} = \frac{{(k + 1)}^{2} {(k + 2)}^{2}}{12} [2 (k + 1) (k + 2) - 1] . \end{matrix}

''

)

Valóban,

(2'')

és

(2')

jobb oldalának különbsége

\begin{matrix} \frac{{(k + 1)}^{2}}{12} [2 (k + 1) {(k + 2)}^{3} - {(k + 2)}^{2} - 2 k^{3} (k + 1) + k^{2}], \end{matrix}

itt a szögletes zárójelbeli kifejezés egyszerű alakítással

\begin{matrix} 2 (k + 1) [{(k + 2)}^{3} - k^{3}] - [{(k + 2)}^{2} - k^{2}] = \\ 4 (k + 1) [3 k^{2} + 6 k + 4 - 1] = 12 {(k + 1)}^{3}, \end{matrix}

így a jobb oldalak különbsége

{(k + 1)}^{5}

, egyenlő a bal oldalak különbségével. Eszerint

(2')

érvényessége öröklődik

(2'')

-re, tehát

(2)

helyes.
Most már

K

nevezője

(2)

és

(1)

alapján

\begin{matrix} (1^{5} + 2^{5} + ... + n^{5}) - {(1 + 2 + ... + n)}^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{24} [4 n^{2} + 4 n - 2 - 3 n (n + 1)] = \\ \frac{(n - 1) \cdot n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2} \cdot (n + 2)}{24}, \end{matrix}

és ez

n > 1

esetén sohasem

0

. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Várható volt, hogy

K

nevezőjének első tagja is

n

-nek polinomja ‐ amint ezt a második tagról tudjuk ‐, így a nevező is az, ennélfogva legföljebb annyi

n

értékre veszi fel a

0

értéket, amennyi a fokszáma. Erre támaszkodva végeztük előbb (2) bizonyítását, és csak ez után azt, mely

n

értékek esetén válik

0

-vá a nevező.

¹A köbök összegének zárt alakját lásd pl.: Gallai Tibor-Hódi Endre-Péter Rózsa-Szabó Piroska-Tolnai Jenő: Matematika az ált. gimn. III. o. számára, 9. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest 1959, 128. o.