A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. -nek legkisebb, szóba jövő értékére, -re értéke , így azt kell bizonyítanunk, hogy minden pozitív egész esetén , azaz | | értéke , és természetesen hogy a nevező -tól különböző ( esetén a nevező , nincs értelmezve). Minden esetén, mint ismeretes
így az állítás egyenértékű azzal, hogy -re
Ezt fogjuk bizonyítani a teljes indukció módszerével. -re (2) helyességét már láttuk. (Egyébként (2) az esetre is helyes.) Feltesszük; hogy (2) helyes valamely természetes szám esetében: | | (2) | és bebizonyítjuk, hogy helyes az -gyel nagyobb számra is: | | (2) | Valóban, és jobb oldalának különbsége | | itt a szögletes zárójelbeli kifejezés egyszerű alakítással
így a jobb oldalak különbsége , egyenlő a bal oldalak különbségével. Eszerint érvényessége öröklődik -re, tehát helyes. Most már nevezője és alapján
és ez esetén sohasem . Ezzel az állítást bebizonyítottuk. Megjegyzés. Várható volt, hogy nevezőjének első tagja is -nek polinomja ‐ amint ezt a második tagról tudjuk ‐, így a nevező is az, ennélfogva legföljebb annyi értékre veszi fel a értéket, amennyi a fokszáma. Erre támaszkodva végeztük előbb (2) bizonyítását, és csak ez után azt, mely értékek esetén válik -vá a nevező. A köbök összegének zárt alakját lásd pl.: Gallai Tibor-Hódi Endre-Péter Rózsa-Szabó Piroska-Tolnai Jenő: Matematika az ált. gimn. III. o. számára, 9. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest 1959, 128. o. |