|
Feladat: |
1585. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bálványos Z. , Bárány S. , Berács J. , Birkner L. , Csetényi A. , Csirmaz L. , Ésik Z. , Faragó I. , Fodor I. , Forrás I. , Futó Ilona , Gegesy F. , Gutori L. , Hárs László , Kóczy L. , Kovalszky R. , Lempert L. , Lengyel T. , Maróti P. , Martoni V. , Máthé Marianna , Mihályffy P. , Nagy Dénes , Nagy Zsigmond , Nikodémusz Anna , Pataki István , Somogy Á. , Szabó L. S. , Tél T. , Tóth Tibor , Turi A. |
Füzet: |
1968/szeptember,
18 - 19. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Prímtényezős felbontás, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/február: 1585. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az adott kifejezés így alakítható:
helyére egész számot helyettesítve a jobb oldal első három tagja egész. Ezért akkor és csak akkor egész, ha a tört kifejezés egész számot ad, vagyis ha egyenlő valamelyik osztójával. Itt természetesen az abszolút értékben egyenlő pozitív és negatív osztókat külön-külön tekintjük. , az 1106. gyakorlatban látottak szerint pozitív osztóinak száma az 1-gyel -gyel növelt kitevők szorzata: , ugyanennyi a negatív osztók száma, tehát 144 olyan egész szám van, amely mellett egész. Éspedig az | | egyenletből | |
Az , egész értékpárok meghatározása céljára kizárjuk azokat a pozitív egész -eket, amelyekre . Alakítsuk (1)-et így: , ahol | |
minden esetén pozitív és monoton csökken, ha növekszik. Ha , akkor , itt tehát . Az és értékekre , az utóbbiakra azonban
tehát itt is . A második alak, szerint esetén is monoton csökkenő, tehát ez áll -ra is. Mármost esetén , de esetén még . Mindezek szerint a egész értékekre teljesül. Ezekre az -ekre , azt keressük tehát, hány osztója van -nak 10 és 123 között, a határokat nem véve tekintetbe. A választ két észrevétel könnyíti. A felbontás mutatja, hogy az egész számok mindegyike osztó, tehát az alsó korlát miatt elhagyandó pozitív osztók száma 10. Másrészt négyzetgyöke, 112,2 közel esik a 123-as korláthoz, a nála kisebb és nagyobb osztók száma egyenlő, hiszen a négyzetgyöknél kisebb számmal osztva a hányados nagyobb a gyöknél és megfordítva. Pl. , ezek ún. kapcsolt osztók -ra nézve. Így a 112,2-ig megtartandó osztók száma , és csak a 112,2 és 123 közti osztóit kell megkeresnünk -nak. Már láttuk, hogy 120 megfelelő osztó, több pedig nincs, mert 113 prím, a továbbiak pedig rendre a 19, 23, 29, 13, 59, 17, 11, 61 törzsszám többszörösei, amik nincsenek meg felbontásában. Mindezek szerint 27 olyan természetes szám van, amely mellett pozitív egész szám. Hárs László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján, egyszerűsítésekkel K. M. L. 35 (1967) 151. o. |
|