Feladat: 1585. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bálványos Z. ,  Bárány S. ,  Berács J. ,  Birkner L. ,  Csetényi A. ,  Csirmaz L. ,  Ésik Z. ,  Faragó I. ,  Fodor I. ,  Forrás I. ,  Futó Ilona ,  Gegesy F. ,  Gutori L. ,  Hárs László ,  Kóczy L. ,  Kovalszky R. ,  Lempert L. ,  Lengyel T. ,  Maróti P. ,  Martoni V. ,  Máthé Marianna ,  Mihályffy P. ,  Nagy Dénes ,  Nagy Zsigmond ,  Nikodémusz Anna ,  Pataki István ,  Somogy Á. ,  Szabó L. S. ,  Tél T. ,  Tóth Tibor ,  Turi A. 
Füzet: 1968/szeptember, 18 - 19. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/február: 1585. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az adott kifejezés így alakítható:

K=(n3+10n2)-(120n2+1200n)+(999n+9990)-12600-(n+10)==-n2+120n-999+12600n+10.(1)


n helyére egész számot helyettesítve a jobb oldal első három tagja egész. Ezért K akkor és csak akkor egész, ha a tört kifejezés egész számot ad, vagyis ha n+10 egyenlő 12600 valamelyik osztójával. Itt természetesen az abszolút értékben egyenlő pozitív és negatív osztókat külön-külön tekintjük.
12600=23⋅32⋅52⋅7, az 1106. gyakorlatban* látottak szerint pozitív osztóinak száma az 1-gyel -1-gyel növelt kitevők szorzata: (3+1)(2+1)(2+1)(1+1)=72, ugyanennyi a negatív osztók száma, tehát 144 olyan n egész szám van, amely mellett K egész. Éspedig az
n+10=-12600,-6300,...,8,9,10,12,...,12600
egyenletből
n=-12610,-6310,...,-2,-1,0,2,...,12590.

b) Az n>0, K>0 egész értékpárok meghatározása céljára kizárjuk azokat a pozitív egész n-eket, amelyekre K≤0. Alakítsuk (1)-et így: K=K1+K2, ahol
K1=12600n+10,K2=(111-n)(n-9)=-(n-60)2+2601.

K1 minden n>0 esetén pozitív és monoton csökken, ha n növekszik. Ha 9≤n≤111, akkor K2≥0, itt tehát K>0. Az n>111 és 0<n<9 értékekre K2<0, az utóbbiakra azonban
|K2|≤110(9-n)<K1,  mert12600n+10-110(9-n)=110n2+110n+2700n+10>0,


tehát itt is K>0.
A második alak, szerint n>60 esetén K2 is monoton csökkenő, tehát ez áll K-ra is. Mármost n=113 esetén K<0, de n=112 esetén még K>0. Mindezek szerint K>0 a 0<n<113 egész értékekre teljesül.
Ezekre az n-ekre 10<n+10<123, azt keressük tehát, hány osztója van 12600-nak 10 és 123 között, a határokat nem véve tekintetbe. A választ két észrevétel könnyíti. A 12600=23⋅32⋅52⋅7 felbontás mutatja, hogy az 1,2,...,10 egész számok mindegyike osztó, tehát az alsó korlát miatt elhagyandó pozitív osztók száma 10. Másrészt 12600 négyzetgyöke, 112,2 közel esik a 123-as korláthoz, a nála kisebb és nagyobb osztók száma egyenlő, hiszen a négyzetgyöknél kisebb számmal osztva a hányados nagyobb a gyöknél és megfordítva. Pl. 12600/105=120, ezek ún. kapcsolt osztók 12600-ra nézve. Így a 112,2-ig megtartandó osztók száma 72/2-10=26, és csak a 112,2 és 123 közti osztóit kell megkeresnünk 12600-nak. Már láttuk, hogy 120 megfelelő osztó, több pedig nincs, mert 113 prím, a továbbiak pedig rendre a 19, 23, 29, 13, 59, 17, 11, 61 törzsszám többszörösei, amik nincsenek meg 12600 felbontásában.
Mindezek szerint 27 olyan n természetes szám van, amely mellett K pozitív egész szám.
 

Hárs László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján, egyszerűsítésekkel
*K. M. L. 35 (1967) 151. o.