A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. Először olyan területfelező egyenest keresünk -n át, amely az szakaszt metszi egy , ill. pontban. Jelöljük az adott és arányszámot -vel, ill. -vel, ekkor a és háromszögnek -ből húzott magassága , ill. , ahol az eredeti háromszög -ből, ill. -ből húzott magassága. Legyen továbbá és , vagyis , , és az háromszög -ből induló magassága . Minthogy (a háromszögek területét ugyanúgy jelöltük, mint magukat a háromszögeket), azért | | amit -vel osztva és innen
1. ábra 2. ábra Ezt az , egyszerű alakítással követelménybe helyettesítve
Ez csak akkor felel meg követelményünknek, ha teljesül , továbbá (1)-ből . Esetünkben és felhasználásával mindkét értékpár megfelel, ugyanis
Ezzel két területfelező egyenest kaptunk -n át, könnyű látni, hogy az utóbbi -t a végpontban metszi és ez a felező az eredeti háromszög -ből induló súlyvonala. 2. Eredményeink a betűzés kellő megváltoztatásával felhasználhatók azoknak a területfelezőknek a meghatározására, amelyek a -ből és a -ből kiinduló oldalszakasz-párt metszik át, ehhez csupán azt kell tudnunk, az -ból induló magasságnak hányadrészét teszi ki -nek -től való távolsága; legyen ez az arányszám . Ezzel kifejezve a összefüggés így alakul:
Mármost észrevéve, hogy , a és oldalszakaszokat metsző területfelezőre az és , valamint és betűk cseréje után ismét a (3) értékeket kapjuk, a második értékpár azonban újra a súlyvonalat adja meg. Végül a oldalszakaszpárt metsző területfelező egyenest nem kapunk, mert az betűk helyére mindenütt rendre -t, -t, -t írva (2)-ből és (1)-ből | | és az egyik megoldásban , a másikban (egyébként ). A talált 3 területfelezőt a 2. ábra mutatja. Kovalszky Róbert (Budapest, Landler J. Gimn.) Megjegyzések. 1. Vegyük észre, hogy az háromszög alak szerint nem volt meghatározva, eredményünk bármely háromszögnek a arányokkal meghatározott pontjára érvényes. 2. Az adott arányértékek mellett mindig rajta van a háromszög -ből induló súlyvonalán, a másik két területfelező pedig egymás képe abban a ferde tükrözésben, melyben a megfelelő pontokat összekötő szakasz párhuzamos -vel és a köztük levő szakaszt felezi. II. megoldás (vázlat). A kitűzésben ajánlott 1455. feladat egy adott ponthoz egyetlen területfelező egyenes szerkesztését írta le és bizonyította be, viszont (a III. rész végén) utalt arra, hogy a háromszögön belüli esetében ‐ amilyen az itteni pont is ‐ egy további területfelező is lehetséges, a szerkesztés utolsó lépésében felmérendő szakaszt az ellentétes irányban felmérve. Ez ‐ mint látni fogjuk ‐ esetünkben is ad második megoldást. A mondott szerkesztés lépéseit az 1455. feladat bizonyítása szerinti számítással követjük (3. ábra).
3. ábra A -en átmenő, -vel párhuzamos egyenesnek -vel való metszéspontjára nézve az paralelogrammából a feltevés szerint , másrészt . Arra a pontra nézve, melyet az -t negyedelő pont és összekötő egyenesével -n át húzott párhuzamos metsz ki -ből, hasonlóság alapján | | továbbá mivel paralelogrammává egészíti ki -et, | |
Így a körzővel átviendő szakasz hossza, a átfogóval és befogóval szerkesztett derékszögű háromszög másik befogója: | | Ezt -től felé felmérve kapjuk a -en átmenő, az eljárás szerinti területfelező egyenesnek -n levő pontját: viszont az ellentétes irányú felméréssel is az szakasz egy pontját, ti. a végpontját kapjuk: , tehát azonos -vel. Végül a felezőknek az szakaszon levő pontjára, hasonló háromszögekből | | A kapott második területfelező egyenes azonos a súlyvonallal. Így az 1455. feladatban vizsgált szögtartomány határán van, vagyis a szögtartományhoz is hozzátartozik, ezért az eljárást az és betűk felcserélésével végrehajtva újabb területfelezőt kapunk. (Bizonyítani kellene még, hogy az így talált 3-nál több területfelező nem lehetséges; ezt itt mellőzzük.)
|