Kezdőlap


Feladat:	1578. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hárs L. , Kovalszky R. , Nagy Dénes , Nagy Zsigmond , Nikodémusz Anna
Füzet:	1968/október, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/január: 1578. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Olyan $n$ kitevőt kell keresnünk, amelyre

\begin{matrix} 1, 968 \cdot 10^{m} < 2^{n} < 1, 969 \cdot 10^{m}, \end{matrix}

(1)

ahol

m ≧ 3

, természetes szám. Innen, mivel a lg

x

függvény szigorúan monoton növekvő,

\begin{matrix} m + lg 1, 968 < n \cdot lg 2 < m + lg 1, 969, \\ 0, 293 95 < n \cdot 0, 301 03 - m < 0, 294 25. & (2) \end{matrix}

(Az alsó korlátot az iskolai új függvénytáblázat

0, 2940

mantissza adatából képeztük, tudva, hogy kerekített, hasonlóan a felső korlátot

0, 2942

-ből; lg 2-nek 5 tizedesre kerekített értékét pedig a

lg 1024 = lg 2^{10} = 10 lg 2 = 3, 0103

adatából.)
A feladat állítása szerint

m > 2^{k} = 2^{8} = 256

, emiatt

\begin{matrix} n \cdot 0, 301 03 > m > 256, \\ n > \frac{256}{0, 30 103} = 850, 4, \end{matrix}

azaz

n ≧ 851

. Mármost

n = 851

esetén

n \cdot 0, 301 03 = 256, 176 53

, tehát

2^{n}

logaritmusában a mantissza

0, 176 53

, kisebb a (2)-beli alsó korlátnál. A megoldást

n = 851

közelében keresve, addig kell növelnünk

n

-et, amíg a mantissza eleget tesz (2)-nek.

n = 852

esetén

0, 176 53 + 0, 301 03 = 0, 477 56

-ra növekszik, és ez már sok. A mantissza úgy csökken, hogy ha

n

-et 3-mal növeljük, hiszen így a hatvány logaritmusa

\begin{matrix} 3 \cdot 0, 301 03 = 0, 903 09 = 1 - 0, 096 91 \end{matrix}

értékkel növekszik, a mantissza

0, 096 91

-del csökken (ha ti. nagyobb volt ennél). Így 855-re növelve

n

-et, a mantissza

0, 380 65

n = 858

esetén pedig

0, 283 74

, ami már majdnem megfelelő, de ismét kevés. Kis növelést érünk el

n

-nek 10-zel való növelésével, hiszen láttuk, hogy

2^{10}

mantisszája

0, 0103

. Így (2)-nek eleget tevő mantisszát kapunk:

\begin{matrix} 868 \cdot 0, 301 03 - 261 = 0, 294 04. \end{matrix}

II. Ez azonban még nem biztosítja, hogy az

n = 868

-as kitevő (1)-nek is eleget tesz. Valóban, (2)-ben a középső tag pontossága a 868-cal való szorzás során lényegesen romlik. Ellenőrzésül használhatunk hétjegyű logaritmustáblát, vagy

2^{868}

elegendő számú kezdő jegyének kiszámításával ellenőrizhetjük eredményünket. Az utóbbi történhet pl. a következő lépésekben:

\begin{matrix} 2^{13} = 8 \cdot 1024 = 8192, 2^{14} = 2 \cdot 2^{13} = 16 384, \\ 2^{27} = 2^{13} \cdot 2^{14} = 134 217 728, \\ 180 143 96 ... < 2^{54} = {(2^{27})}^{2} < 180 144 00 ... \\ 324 518 46 ... < 2^{108} = {(2^{54})}^{2} < 324 518 61 ... \\ 105 312 23 ... < 2^{216} = {(2^{108})}^{2} < 105 312 33 ... \\ 210 624 46 ... < 2^{217} = 2 \cdot 2^{216} < 210 624 66 ... \\ 443 626 63 ... < 2^{434} = {(217)}^{2} < 443 627 48 ... \\ 196 804 58 ... < 2^{868} = {(2^{434})}^{2} < 196 805 35 ... \end{matrix}

A negyedik lépéstől kezdve 8 jegyre lefelé és fölfelé kerekítettük a szorzatokat. Ezek szerint az

n = 868

kitevő eleget tesz (1)-nek.

Megjegyzések. 1. Ha nem használtuk volna fel a feladat

m > 256

közlését, akkor eljárásunkat a 851, 852,

...

kitevők helyett az 1, 2,

...

sorozattal végezve beláthattuk volna, hogy az

n = 868

kitevő az első, melyre

2^{n}

első jegyei 1968

...

2. Azt, hogy a (2) egyenlőtlenség a képezéséből eredő pontatlanságok ellenére jó eredményre vezetett, az a szerencsés körülmény magyarázza, hogy lg 2 értéke 7 tizedesre is az ott használt érték:

0,301 0300

(10 jegyre pedig

0,301 029 9957

). Az ellenőrzést viszont nehezítette, hogy

2^{868}

-ban az előírt 1, 9, 6, 8 jegyeket 0 követi.