Kezdőlap


Feladat:	1575. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálványos Z. , Borzsák P. , Csetényi A. , Csirmaz L. , Kemény A. , Kovalszky R. , László L. , Lempert L. , Michaletzky Gy. , Nagy András (Bp. Toldy) , Nagy Dénes , Nagy Zsigmond , Sax Gy. , Váli L.
Füzet:	1968/november, 120 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Polinomok, Feladat, Rekurzív sorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/december: 1575. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$α)$ Az (1) táblázat $3 \leq n \leq 7$ indexű és a (2) táblázat $4 \leq n \leq 7$ indexű sorai kielégítik a (3)-ban leírt képezési szabályt. Legyenek az (1)-nek ilyen, vagy az így képezett folytatásnak $n - 2$ , $n - 1$ , és $n$ indexű sorában az együtthatók:

\begin{matrix} n - 2 & 1 & c_{1} & c_{2} & ... \\ n - 1 & 1 & b_{1} & b_{2} & ... \\ n & 1 & a_{1} & a_{2} & ... \end{matrix}

vagyis,

C = 2 cos x

megfelelő hatványait is kiírva:

\begin{matrix} C_{n - 2} & = 2 cos (n - 2) x = C^{n - 2} + c_{1} C^{n - 4} + c_{2} C^{n - 6} + ... & (4) \\ C_{n - 1} & = 2 cos (n - 1) x = C^{n - 1} + b_{1} C^{n - 3} + b_{2} C^{n - 5} + ... & (5) \\ C_{n} & = 2 cos n x = C^{n} + a_{1} C^{n - 2} + a_{2} C^{n - 4} + ... & (6) \end{matrix}

Minthogy ezekre

\begin{matrix} a_{1} = b_{1} - 1, a_{2} = b_{2} - c_{1}, \end{matrix}

(7)

és általában

i = 2

3

...

esetén

\begin{matrix} a_{i} = b_{i} - c_{i - 1}, \end{matrix}

(8)

másrészt (4)‐(6) szerint

b_{1}

és

b_{i}

C

változó

1

-gyel kisebb kitevőjű hatványának együtthatója, mint

a_{1}

, ill.

a_{i}

és

c_{i - 1}

, azért (7)-ből és (8)-ból a következő összefüggést sejtjük:

\begin{matrix} C_{n} = C \cdot C_{n - 1} - C_{n - 2} . \end{matrix}

(9)

Ezt fogjuk bizonyítani.
Valóban, a

\begin{matrix} cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2} \end{matrix}

azonosság alapján

\begin{matrix} C_{n} + C_{n - 2} = 2 cos n x + 2 cos (n - 2) x = 4 cos (n - 1) x cos x = \\ = (2 cos x) (2 cos (n - 1) x) = C \cdot C_{n - 1}, \end{matrix}

tehát sejtésünk helyes.
(9) alapján a

C

változó (6) alatti polinomja az (5) alatti polinom

C

-szeresének és a (4) alatti polinomnak a különbségével egyenlő:

\begin{matrix} C^{n} + a_{1} C^{n - 2} + a_{2} C^{n - 4} + ... = C (C^{n - 1} + b_{1} C^{n - 2} + b_{2} C^{n - 4} + ...) - (C^{n - 2} + c_{1} C^{n - 4} + c_{2} C^{n - 6} + ...) . \end{matrix}

Ez akkor teljesül, ha

C

megfelelő hatványainak az együtthatói a két oldalon egyenlők:

\begin{matrix} C^{n} & együtthatója a bal oldalon: & 1, & a jobb oldalon:1; \\ C^{n - 1} & együtthatója a bal oldalon: & 0, & a jobb oldalon:0; \\ C^{n - 2} & együtthatója a bal oldalon: & a_{1}, & a jobb oldalon:b_{1} - 1; \\ .  .  . \\ C^{n - 2 i} & együtthatója a bal oldalon: & a_{i}, & a jobb oldalon:b_{i} - c_{i - 1}; \\ C^{n - 2 i - 1} & együtthatója a bal oldalon: & 0, & a jobb oldalon:0; \\ .  .  . \end{matrix}

(9) tehát következik a (8) alatti képezési szabályból. Így ha (4) és (5) azonosság, és a bennük szereplő együtthatókból (8) alapján állítjuk elő a (6) alatti együtthatókat, akkor (6) is azonosság.

β)

Az állítás szerint (7) és (8) akkor is érvényesek, ha (4)‐(6) bal oldalára rendre

S_{n - 2}

-t,

S_{n - 1}

-t,

S_{n}

-t írjuk, és a

c_{1}

c_{2}

...

b_{1}

b_{2}

...

a_{1}

a_{2}

...

együtthatókon a (2) táblázat

n - 2

n - 1

, ill.

n

indexű sorának együtthatóit értjük. Ezért a (9)-nek megfelelő

\begin{matrix} S_{n} = C \cdot S_{n - 1} - S_{n - 2} \end{matrix}

összefüggést is igazolnunk kell. Valóban, az előbbihöz hasonlóan

\begin{matrix} S_{n} + S_{n - 2} = \frac{sin n x + sin (n - 2) x}{sin x} = \frac{2 sin (n - 1) x cos x}{sin x} = \\ 2 cos x \cdot \frac{sin (n - 1) x}{sin x} = C \cdot S_{n - 1} . \end{matrix}

γ)

Már csak azt kell belátnunk, hogy a táblázatoknak (3) alapján nem képezhető elemei, vagyis az első két sor számai helyesek. Ezek ismert azonosságok alapján közvetlenül igazolhatók:

\begin{matrix} 2 cos 2 x = & 2 (cos^{2} x - sin^{2} x) = 2 (2 cos^{2} x - 1) = {(2 cos x)}^{2} - 2 = C^{2} - 2; \\ \frac{sin 2 x}{sin x} = & 2 cos x = C; \\ \frac{sin 3 x}{sin x} = & \frac{3 sin x - 4 sin^{3} x}{sin x} = 3 - 4 sin^{2} x = \\ 3 - 4 (1 - cos^{2} x) = {(2 cos x)}^{2} - 1 = C^{2} - 1. \end{matrix}

Ezzel a feladat mindegyik állítását igazoltuk.
Nagy Zsigmond (Budapest, Kaffka M. Gimn.)

Megjegyzések. 1. A (2) táblázatot 4 sorral kiegészítve a következőket kapjuk:

1

- 6

10

- 4

;

1

- 7

15

;

- 10

1

;

1

- 8

21

- 20

5

;

1

- 9

28

- 35

15

- 1

, és a legutóbbi sor együtthatói megfelelnek az 1508. feladatban¹ látott

sin 11 φ = sin φ (1024 cos^{10} φ - 2304 cos^{8} φ + 1792 cos^{6} φ - 560 cos^{4} φ + 60 cos^{2} φ - 1)

előállításnak.
2. Ajánljuk az érdeklődőknek a feladat egybevetését a Matematikai és Fizikai Társulat 1899. évi tanulóversenyének 1. feladatával².

¹K. M. L. 35 (1967) 130. o.

²Lásd: Kürschák József-Hajós György-Neukomm Gyula-Surányi János: Matematikai versenytételek, I. rész, 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1965, 46‐51. o.