Kezdőlap


Feladat:	1573. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegedűs András
Füzet:	1968/október, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/december: 1573. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A vizsgálandó kifejezést egyszerűbb alakra hozzuk:

\begin{matrix} a = \frac{\frac{1}{C_{0} C_{k}} - \frac{1}{C_{0} C_{n}}}{\frac{1}{C_{n} C_{n - k}} - \frac{1}{C_{n} C_{0}}} = \frac{\frac{C_{0} C_{n} - C_{0} C_{k}}{C_{0} C_{k}}}{\frac{C_{n} C_{0} - C_{n} C_{n - k}}{C_{n} C_{n - k}}} = \frac{C_{n} C_{k} \cdot C_{n} C_{n - k}}{C_{0} C_{k} \cdot C_{0} C_{n - k}} \end{matrix}

(természetesen föltettük, hogy

0 < k < n

‐ az ábrán

k < n / 2

‐, másrészt hogy az átmetsző egyenes nem megy át a szög

O

csúcsán).

A színusz tételt alkalmazva a

C_{0} C_{k} O

C_{0} C_{n - k} O

C_{n} C_{k} O

és a

C_{n} C_{n - k} O

háromszögből

\begin{matrix} C_{n} C_{k} = O C_{n} \cdot \frac{sin C_{n} O C_{k} ∢}{sin O C_{k} C_{n} ∢}, C_{n} C_{n - k} = O C_{n} \frac{sin C_{n} O C_{n - k} ∢}{sin O C_{n - k} C_{n} ∢}, \\ C_{0} C_{k} = O C_{0} \frac{sin C_{0} O C_{k} ∢}{sin O C_{k} C_{0} ∢}, C_{0} C_{n - k} = O C_{0} \frac{sin C_{0} O C_{n - k} ∢}{sin O C_{n - k} C_{0} ∢} . \end{matrix}

Ezek alapján, figyelembe véve, hogy az

O C_{k}

és

O C_{n - k}

osztóvonalak a föltevés szerint szimmetrikusak a

C_{0} O C_{n}

szög felezőjére nézve, és így

\begin{matrix} C_{n} O C_{k} ∢ = C_{0} O C_{n - k} ∢, valamint C_{n} O C_{n - k} ∢ = C_{0} O C_{k} ∢, \end{matrix}

továbbá, hogy a

C_{n} C_{k} O

és

C_{0} C_{k} O

szögek, valamint

C_{n} C_{n - k} O

és

C_{0} C_{n - k} O

is egymás kiegészítő szögei, kifejezésünk így alakul:

\begin{matrix} a = {(\frac{O C_{n}}{O C_{0}})}^{2} . \end{matrix}

Ez valóban független

k

-tól is,

n

-től is, csak attól függ, mekkora szakaszokat metszett le az eredeti szög száraiból az átmetsző egyenes. ‐ Azt is kaptuk, hogy nem lényeges a szögnek egyenlő részekre való osztása, csupán az, hogy

C_{0} O C_{k} ∢ = C_{n - k} O C_{n} ∢

legyen és hogy ezek egyező irányításúak is legyenek.

Hegedűs András (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)