|
Feladat: |
1572. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csetényi Artúr , Csirmaz László , Ésik Zoltán , Fialovszky Alice , Gulyás András , Hárs László , Kardos János , Karvaly Gellért , Kele András , Kovalszky Róbert , Mihaletzky György , Munk Sándor , Nagy Dénes , Szilágyi Etelka , Zambó Péter |
Füzet: |
1971/március,
103 - 106. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Bűvös-négyzetek, Számelrendezések, Négyzetrács geometriája, Számtani sorozat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/december: 1572. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. A bélyegző az számok mindegyikét egyszer tartalmazza, így bármelyik számunknak a papíron való két előfordulása két különböző lenyomatba tartozik bele, tehát a két megfelelő mezőnek mind a soraihoz, mind az oszlopaihoz tartozó sorszámok különbsége az számnak többszöröse (természetesen a -t is beleértve). Így ha a papírra egy sorból és oszlopból álló négyzet alakú keretet teszünk ‐ oldalaival a lenyomatok vonalaira ‐, akkor egyetlen szám sem látható kétszer a kereten belül, hiszen a keretbeli sorok, oszlopok sorszámai közti különbségek legnagyobbika , ti. az alsó és felső sor, ill. a jobb szélső és a bal szélső oszlop sorszámai között. Nem lehet viszont, hogy számaink valamelyike ne forduljon elő a keretben. Ha ugyanis a számnak egy előfordulását megpróbáljuk kirekeszteni a keretből úgy, hogy ennek pl. a bal oldalvonalát áttoljuk rajta (a kirekesztendő szám mezejének jobb oldal vonalára), akkor a számnak oszloppal jobbra levő előfordulása belép a keretbe a jobb oldali oldalvonalon át, és ugyanez áll a sorokra is. 1. ábra Megmutatjuk azt is, hogy a keretben látható mező mindegyike egy és csak egy számot tartalmaz, a lenyomatok nem fedik át egymást, vagyis helyes ,,a papír megtöltött részéről'' beszélni. Mivel a bélyegző sorainak száma , azért egymásba csak olyan két lenyomat sorai nyúlhatnak, amelyek sorszámainak különbsége . Elég annak a hatását tekinteni, ha az lenyomathoz képest az alsó felét toljuk föl sorral. Ekkora középső oszlop ‐ ti. az , számokat tartalmazó oszlop ‐ alsó felének számai üres közbülső mezőkre jutnak, mert az lenyomat ezen oszlopában a mezők váltakozva foglaltak és üresek, a foglalt mezők sorának sorszámai (felülről értve) páratlanok, az üreseké párosak, a lenyomatban viszont -nel ‐ egy páratlan számmal ‐ kisebbek, tehát a lenyomatbeli számok páros sorszámú sorba, azaz üres mezőre jutnak. Így pedig a lenyomat többi számai sem juthatnak foglalt mezőkre, mert a foglalt mezők minden sorban oszloponként követik egymást, és ennélfogva üres mezőtől jobbra és balra oszloppal ismét üres mezőt találunk. A fölhasznált állítások a beírási utasításból adódnak: egy számtól a bélyegzőn úgy jutunk el a közvetlen alatta levő számhoz ‐ amennyiben van alatta szám ‐, hogy egyszer balra lefelé és egyszer jobbra lefelé lépünk két oszloppal és egy sorral (és a két lépés sorrendje föl is cserélhető), tehát a közvetlen alatta levő szám két sorral lejjebb áll; azt is látjuk ebből, hogy a köztük levő sorbeli üres mezőtől balra és jobbra is üres áll, és a balra, jobbra második mezők foglaltak, oszlopaik sorszámának különbsége tehát . Mindjárt itt megjegyezzük, hogy meggondolásunk szerint a bélyegzőn minden szám alatt mezővel a nála -gyel nagyobb szám áll, vagy üres mező, és minden számtól jobbra mezővel az -gyel nagyobb szám vagy üres mező, hiszen a jobbra emelkedő (balra süllyedő) lépés -gyel növel, ill. csökkent, a másik fajta lépés pedig -nel. Áttérve állításunknak a vízszintes eltolásokra vonatkozó részére, elég a mezőnyi eltolásokkal foglalkoznunk, hiszen az lenyomat csak páratlan sorszámú oszlopokba visz számokat, ezért az mezővel jobbra eltolt lenyomat csak páros sorszámúakba és a foglaltság kérdése csak az újabb mezővel jobbra való eltolás számaira lép fel. Mármost páratlan szám -szerese -gyel osztva maradékul -t ad, ott tehát üres mező van, hiszen csak olyan mező foglalt, amelyre az oszlopok sorszámainak különbsége -nek többszöröse, tehát -gyel osztva a maradék . Az lenyomattól jobbra mezővel képezve új lenyomatot, ez már nem nyúlik az elsőbe, mert a bélyegző oszlopainak száma csak . Ezzel beláttuk, hogy a lenyomatokat vízszintesen , függőlegesen többszöröseivel eltolva nincs átfedés, és ezzel megtöltjük a papír páratlan sorszámú oszlopait. Ugyanez áll egymás között azokra a lenyomatokra, amelyekben vízszintesen az szám páratlan többszöröseit vesszük eltolásnak. II. Áttérünk az összegek kérdésére. Legyen olyan sorszám, amelyre ‐ vagyis a bélyegző -edik sora a felső félben van, vagy maga a középső sor ‐, és számítsuk ki a bélyegző (felülről számított) -edik és az -edik sorában álló számok összegét, vagyis azokét a számokét, amelyek a papíron egy sorban állnak. Azt kell kapnunk, hogy ez független -től. A -edik sor első száma , tagjainak száma , és mint láttuk, tagról tagra -gyel nőnek. Így összegük, a számtani sorozat összegképletét alkalmazva: | | (1) |
Az -edik sor első száma , tagjainak száma , mert az -edik sorban szám áll (hiszen első száma , utolsó száma , és ehhez lépéssel jutunk el) és tovább a sor sorszámát -gyel -gyel növelve a tagok száma -gyel -gyel fogy. (Innen is látjuk, hogy a vizsgált két sorban együttvéve szám áll.) Így a -edik sor számainak összege | | ami (1)-gyel együtt amint vártuk. (Ez esetére is érvényes, mert ekkor ‐ bár nincs -edik sor, de benne , azaz taggal számoltunk.) Legyen másrészt olyan páratlan sorszám, melyre ‐ vagyis a bélyegző -adik oszlopa (az üres oszlopokat is számba véve) a bélyegző bal oldali felében van vagy maga a középső oszlop ‐, és számítsuk ki a bélyegző -adik és -edik oszlopában álló ‐ a fentiek szerint a papíron egy oszlopba kerülő ‐ számok összegét. A -adik oszlop felső száma (egész), tagjainak száma ugyanennyi, a -edik oszlopra pedig ugyanezek a számok , ill. , tehát az összeg ‐ mint differenciájú számtani sorozatok összege:
függetlenül -tól és megegyezésben (2)-vel. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
III. Az 1165. gyakorlatban Marci guruló bélyegzőjével azt a számkövezetet kaptuk ‐ lásd az ottani 2. ábrát ‐, ami az itteni pecsétnek egy oszlopra való tükrözésével állna elő esetében. Ott láttuk, hogy minden átlós összeg ‐ a keret elhelyezésétől függetlenül ‐ egyezik a sorok és az oszlopok összegével. Ugyanezt tapasztaljuk esetén (2. ábra), ebben a két esetben bélyegzőnk ún. minden átlójában bűvös ‐ az irodalomban bevett idegen kifejezéssel ‐ pándiagonális bűvös kövezetet állít elő. 2. ábra esetén mindkét átlós irány mentén csak átlón annyi az összeg, mint a sorokon és oszlopokon, így a szám közül olyan, hogy a négyzet közepének választva bűvös négyzetet kapunk, ezek mellett a 3. ábrán csillag áll. 3. ábra Megjegyzések. 1. A 2. és 3. ábrát úgy vágtuk ki a bűvös kövezetből, hogy a keret közepén a beírt számok közül a középső álljon, a vonalak összegének -edrésze. Ez azt eredményezte, hogy bármely két, a keret középpontjára tükrös helyzetű mezőpáron olyan két szám áll, amelyek összege , vagyis amelyek a beírt számok növekvő felsorolásában elölről és hátulról ugyanannyiadik helyen állnak. 2. A bélyegzőnk elvével keletkező kövezetnek pándiagonális voltáról lásd ezen számunk 97. oldalán olvasható cikket.
|
|