A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Grafikus megoldásban külön‐külön előállítjuk az (1), (2) egyenlet képét az , derékszögű koordinátarendszerben, majd leolvassuk a két kép közös pontjainak koordinátáit. Az abszolút érték nem negatív, így (1) bal oldalának egyik tagja sem nagyobb 6-nál, (2) bal oldalának tagjai pedig nem nagyobbak 4-nél. Legyen , azaz , . Aszerint, hogy (1) így alakul: | | Az elsőből, alsó és felső határának behelyettesítésével, esetén , az esetben pedig , ennélfogva mellett (1)-et a derékszögű koordinátarendszer | | pontjai által határolt és szakaszának pontjai elégítik ki. Hasonlóan , élesebben esetén az további feltevés mellett az , ill. egyenletből a , ill. szakaszt kapjuk, ahol . Ezek szerint (1) képe a négyszög (ami nyilvánvalóan paralelogramma) kerülete.
Ugyanígy (2) képe a paralelogramma kerülete, ahol , , , , az oldalak rendre az , , , egyenletű egyenes részei. Ennélfogva az egyenletrendszer megoldásait a két paralelogramma kerületének két metszéspontjához tartozó koordináták adják:
II. Számítással úgy kereshetjük a megoldást, hogy az abszolút értékben levő kifejezések minden lehetséges előjelét tekintetbe vesszük és a kapott gyökökre megvizsgáljuk, teljesülnek-e ezek a feltételek. Ez az egyenlőtlenség figyelembevételével is 12 eset megvizsgálását kívánná. Csökkenthetjük azonban az esetek számát, ha először csak és előjelét vesszük figyelembe és minden esetben -ra keresünk egyenletet. a) , . Ebben az esetben , tehát mindegyik abszolútértékjelben pozitív szám áll:
Az egyenletrendszer megoldása az pont, nem tesz eleget az feltételnek. b) , . Az ismert előjelű tagok abszolút értékét képezve az
egyenletrendszert kapjuk. A másodikból kivonva az elsőt Bevezetve az jelölést, az egyenletet kapjuk. A bal oldal értéke és között van, tehát értéke csak a (3, 5) intervallumban lehet, és tehát pozitív: Így , ezt (3)-ba helyettesítve az (2, 3) pontot kapjuk, de ez nem tesz eleget az feltételnek. c) , . Az ismert abszolút értékű tagok előjelét képezve
E két egyenlet különbsége az jelöléssel az egyenletre vezet: a bal oldal, és így értéke is és között van, tehát értéke a (0, 2) intervallumban van, így előjele ismert: nem lehet pozitiv, mert akkor , tehát ; ezért , . Ezt (4)-be helyettesítve az pontot kapjuk, mely eleget tesz feltevéseinknek, tehát megoldás. d) , , a fentiekhez hasonlóan
E két egyenlet összege az egyenletre vezet, és mivel , . Ha , akkor a bal oldal legfeljebb 5, a jobb oldal legalább 7, így csak lehet: , tehát , és (5) alapján kapjuk a feltételeknek eleget tevő pontot.
|