Feladat: 1568. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálványos Z. ,  Barra K. ,  Berács J. ,  Fiala Tibor ,  Fischer Ágnes ,  Hárs L. ,  Horváth Sándor ,  Kecskeméty K. ,  Kóczy L. ,  Korecz L. ,  Koren A. ,  Kótai E. ,  Kovalszky R. ,  Lublóy L. ,  Mészáros J. ,  Mitrocsák Anikó ,  Munk S. ,  Nagy Dénes ,  Nagy Zsigmond ,  Péli Katalin ,  Sirokmán F. ,  Szenes Katalin 
Füzet: 1968/október, 55 - 58. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Vetítések, Kocka, Síkgeometriai szerkesztések, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/november: 1568. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I megoldás. I. Legyen a K kocka egy lapja ABCD, rá merőleges élei rendre AE, BF, CG, DH; párhuzamos vetületben mind a 6 lap képe paralelogramma, mert párhuzamos egyenesek vetületei is párhuzamosak. Legyenek az adott pontok az AB, CG, EH páronként kitérő élek vetületén rendre L, M, N; nem okoz félreértést, ha rendre ugyanígy jelöljük a térben az élek megfelelő pontjait is; legyen végül az utóbbiak által meghatározott sík S.

 

 

1. ábra
 

a) Amennyiben L, M, N egyike sem csúcsa K-nak, S a K-nak mind a 6 lapját átmetszi, a Q metszetidom hatszög, és ennek minden második csúcsa adott pont, mert a metszetnek pl. az ABCD és az ABFE lapban az L-ből kiinduló oldala nem végződhet sem M-ben, sem N-ben, hiszen a mondott lapok egyik éle sem kitérő AB-hez képest.
Alább megadandó szerkesztésünk minden egyes lépése egy egyenes szerkesztése lesz K valamelyik lapsíkján, ill. egy megadandó segédsíkon, vagyis a térben. A lépéseket rajzunk síkján követjük az illető egyenesek vetületének megrajzolásával. Csak azt fogjuk felhasználni, hogy párhuzamos egyeneseknek párhuzamos vetítéssel nyert képei párhuzamosak. (Nem foglalkozunk olyan esetekkel, amikor K bizonyos csúcsainak vetületei egybeesnek.).
Elég meghatározni S és az ABCD=S1 lapsík m1 metszésvonalát. Ugyanis m1-nek a BC fedőél egyenesén levő L1 pontját M-mel összekötve megvan S-nek a BCGF fedőlap‐síkkal való m2 metszésvonala, m2-nek FG-n levő M1 pontját N-nel összekötve megvan az EFGH oldallap síkjával való m3 metszésvonal, végül m3-nak EF-en levő N1 pontját L-lel összekötve megvan S-nek az ABFE lapsíkkal való m4 metszésvonala. Látni fogjuk, hogy e négy metszésvonalon megkapjuk Q hátralevő 3 csúcsát.
Mármost m1-et megadja az MN egyenes S1-en levő P döféspontjának L-lel való összekötése. P-t megkapjuk egy az MN-et tartalmazó, ügyesen választott S2 segédsík felhasználásával. MN benne van a CGN síkban, amely az (N-et tartalmazó) ADHE lapsíkot egy a CG-vel párhuzamos egyenesben metszi. Így e metszésvonal DH-val is párhuzamos, és átmegy N-en, megszerkeszthető, legyen AD-n levő pontja N'. Ekkor pedig S2 és S1, metszésvonala N'C, ennek NM-mel való metszéspontja P, és az előrebocsátottak szerint m1=LP. Az N'C egyenes lényegében NM-nek S1-en levő vetülete, ha a vetítés iránya párhuzamos GC-vel.
 

Csak azt használtuk fel, hogy két sík egyenesben metszi egymást, valamint hogy egy síkot egy vele nem párhuzamos és nem benne fekvő egyenes egy pontban metsz, ezért eljárásunk helyességének bizonyítására csak azt kell megmutatnunk, hogy L, M, N helyzetére kimondott föltevéseink miatt ‐ ti. hogy mindegyikük a kiszemelt élnek belső pontja ‐ szerkesztésünk minden lépése egyértelműen meghatározott. N' az AD él belső pontja, különbözik C-től, így az N'C egyenes határozott, P ennek C-től különböző pontja, éspedig az N'C szakasz C-n túli meghosszabbításán, mert NN'>MC>0. Emiatt L1 a BC szakasz C-től különböző pontja, egyszersmind csúcsa Q-nak, M1 az FG élnek G-n túli, N1 pedig az FE élnek E-n túli meghosszabbításán van. Így GH elválasztja M1-et N-től, AE elválasztja N1-et L-től, tehát m3 és m4 a mondott elválasztó élen egy‐egy további M2, ill. N2 csúcsát metszi ki Q-nak.
b) Ha adott pontjaink közül egy a megfelelő él valamelyik végpontja, akkor válasszuk a betűzést úgy, hogy ez N legyen. Meggondolásunk mind N=E, mind N=H esetén érvényes, az első esetben N2, a másodikban M2 azonos N-nel, a síkmetszet ötszög.
Ha két adott pont esik él végpontjába, vagy mind á három, feladatunk elveszti eredeti jellegét. Két pont esetén 22=4‐féleképpen, három esetén 8‐féleképpen választhatjuk ki L, M, N céljára K-nak 2, ill. 3 csúcsát. Ekkor mindig már eleve adott Q-nak egy vagy több oldalszakasza, és célszerűbb azt felhasználni, hogy S a K-nak párhuzamos lapsíkjait párhuzamos egyenesekben metszi.
II. Az L, M, N pontokat tartalmazó 3 él megfelelő kiválasztására lényegében nincs más lehetőség. Az elsőként szabadon választható AB-hez képest csak a CG, DH és az FG, EH élpárok kitérők, az első párból a szimmetria miatt elég CG-t vennünk, ehhez képest a másik párból csak EH kitérő.
A kocka speciális tulajdonságai közül csak azt használtuk fel, hogy a CG és DH élek párhuzamosak (ebből ugyanis már következik, hogy az ADHE lapsík is párhuzamos CG-vel). Emiatt szerkesztésünk minden olyan hatlapú testre érvényes, melynek ez a tulajdonsága megvan (lásd 2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Paralelepipedonra szorítkozva a Q metszethatszög szemben fekvő oldalai párhuzamosaknak kell hogy adódjanak, de ezt nem használtuk fel. Egyébként egy párhuzamos vetítéssel nyert vetületből ‐ amennyiben a lapok vetületei paralelogrammák ‐ nem is állapítható meg, hogy valóban kocka képével állunk-e szemben, még akkor sem, ha tudjuk, hogy a rajz síkja merőleges a vetítés irányára.
 

 Fiala Tibor (Budapest, Rákóczi F. gimn. III. o. t.)
 dolgozata alapján, kiegészítésekkel
 

Megjegyzés. Az. 1. ábrán ‐ térbeli eredetétől eltekintve ‐ a következőket látjuk: ha ABCD, ABFE, BCGF és CDHG (a csúcsok mondott körüljárása szerint) paralelogrammák, L, M, N rendre az AB, CG, EH szakasz egy közbülső pontja, továbbá AENN' ugyancsak paralelogramma, NM ás N'C metszéspontja P, LP metszéspontja a BC, DC, DA egyenessel rendre L1, L2, L3, ML1 metszéspontja FG-vel és FB-vel M1, ill. M3 ‐, mindezen feltételekből következik, hogy NM1 párhuzamos LP-vel, NM1-nek GH-val és EF-fel való metszéspontját M2,-vel, ill. N1-gyel jelölve MM2 párhuzamos N1M3-mal, és az utóbbi egyenes átmegy L-en, MM2 pedig L2-n, továbbá NL3 párhuzamos L1M-mel és átmegy az AE, N1M3, valamint a DH, MM2 egyenespár N2, ill. N3 metszéspontján. Mindezen következményeknek a föltevésből való bizonyítása ‐ tisztán síkbeli úton ‐ hosszú és nehézkes lenne.
 

II. megoldás (vázlat). A fenti jelöléseket használva tekintsük azt az m egyenest, amiben S az M-en átmenő és az ABCD, EFGH lapsíkokkal párhuzamos síkot metszi. Ez nyilvánvalóan párhuzamos m1-gyel és m3-mal, tehát m-et ismerve a metszet NM2 és LL1 oldala megszerkeszthető. m-nek az LN egyenesen levő R metszéspontja az NR:NL=GM:GC=NR':NN' aránypárból szerkeszthető. Végül LN2∥MM2.
 

 Horváth Sándor (Budapest, I. István gimn. IV. o. t.)