Kezdőlap


Feladat:	1567. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Martoni Viktor
Füzet:	1968/május, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Körülírt kör, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1567. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mindegyik nevező pozitív, mert tényezőik pozitívok, így (1)-et a közös nevező $2$ -szeresével szorozva, vele ekvivalens állítást kapunk:

\begin{matrix} sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ \leq 6 sin α sin β sin γ, \end{matrix}

(2)

ezt bizonyítjuk.

γ = 180^{\circ} - (α + β)

alapján

sin γ = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

, ezért a jobb oldal így alakítható:

\begin{matrix} 6 sin^{2} α sin β cos β + 6 sin α cos α sin^{2} β = 3 (sin^{2} α sin 2 β + sin^{2} β sin 2 α) = \\ = \frac{3}{2} [(1 - cos 2 α) sin 2 β + (1 - cos 2 β) sin 2 α] = \frac{3}{2} [sin 2 α + sin 2 β - sin (2 α + 2 β)] = \\ = \frac{3}{2} [sin 2 α + sin 2 β + sin (360^{\circ} - 2 α - 2 β)] . \end{matrix}

Eszerint a zárójel harmadik tagja sin

2 γ

, tehát benne (2) bal oldala áll, így jobb és bal oldal aránya

3 : 2

.
Minthogy pedig a jobb oldal ‐ mint láttuk ‐ pozitív, (2) helyes, és vele (1) is. Az állításnál többet bizonyítottunk be, ti. azt, hogy mindkét esetben határozottan a

<

jel érvényes, valamint hogy (1) bal oldalának értéke

2

Martoni Viktor (Veszprém, Lovassy L. gimn. I. o. t.)

II. megoldás. A fentiekhez hasonlóan adódó

\begin{matrix} sin α cos α + sin β cos β + sin γ cos γ \leq 3 sin α sin β sin γ \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenséget igazoljuk. Jelöljük az

A B C

háromszög köré írt kör középpontját

O

-val, válasszuk a sugarát mértékegységnek, ekkor oldalainak hossza

B C = 2 sin α

C A = 2 sin β

A B = 2 sin γ

. Így (3) bal oldalának egyes tagjai a

B O C

C O A

A O B

háromszög területét adják, mert ezek

O

-ból húzott magassága

cos α

cos β

, ill.

cos γ

. Ha

γ

a legnagyobb szög, akkor az

A O B

háromszög területét aszerint kapjuk pozitív vagy negatív előjellel, vagy lesz

0

, amint

γ

hegyesszög, tompaszög vagy derékszög, így a bal oldal minden esetben a háromszög területét adja.

Ezt számíthatjuk úgy is, mint két oldal hossza és közbezárt szögük szinusza szorzatának fele, és a következő azonosságot kapjuk:

\begin{matrix} sin α cos α + sin β cos β + sin γ cos γ = \\ = \frac{1}{2} \cdot 2 sin β \cdot 2 sin γ \cdot sin α = 2 sin α sin β sin γ . \end{matrix}

Végül a jobb oldalon

2

helyett

3

-at írva ezt az oldalt növeljük, mert a területet írtuk fel pozitív előjellel, tehát (3) helyes, úgyszintén (1) is.