A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Mindegyik nevező pozitív, mert tényezőik pozitívok, így (1)-et a közös nevező -szeresével szorozva, vele ekvivalens állítást kapunk: | | (2) | ezt bizonyítjuk. alapján , ezért a jobb oldal így alakítható:
Eszerint a zárójel harmadik tagja sin , tehát benne (2) bal oldala áll, így jobb és bal oldal aránya . Minthogy pedig a jobb oldal ‐ mint láttuk ‐ pozitív, (2) helyes, és vele (1) is. Az állításnál többet bizonyítottunk be, ti. azt, hogy mindkét esetben határozottan a jel érvényes, valamint hogy (1) bal oldalának értéke . Martoni Viktor (Veszprém, Lovassy L. gimn. I. o. t.) II. megoldás. A fentiekhez hasonlóan adódó | | (3) | egyenlőtlenséget igazoljuk. Jelöljük az háromszög köré írt kör középpontját -val, válasszuk a sugarát mértékegységnek, ekkor oldalainak hossza , , . Így (3) bal oldalának egyes tagjai a , , háromszög területét adják, mert ezek -ból húzott magassága , , ill. . Ha a legnagyobb szög, akkor az háromszög területét aszerint kapjuk pozitív vagy negatív előjellel, vagy lesz , amint hegyesszög, tompaszög vagy derékszög, így a bal oldal minden esetben a háromszög területét adja.
Ezt számíthatjuk úgy is, mint két oldal hossza és közbezárt szögük szinusza szorzatának fele, és a következő azonosságot kapjuk:
Végül a jobb oldalon helyett -at írva ezt az oldalt növeljük, mert a területet írtuk fel pozitív előjellel, tehát (3) helyes, úgyszintén (1) is. |