Kezdőlap


Feladat:	1566. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Faragó István , Hárs László
Füzet:	1968/április, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometriával
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1566. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a kör sugara $r$ , $S$ vetülete $P T$ -n $M$ , ez különbözzék $T$ -től, és a kör $T$ -ből kiinduló átmérője $T N$ . Ekkor $S T M$ és $T N S$ hasonló derékszögű háromszögek, mert $S$ -nél, ill. $T$ -nél levő szögeik váltószögek. Másrészt $S M$ a $P S$ oldalú szabályos háromszög magassága, így

\begin{matrix} \frac{N T}{S T} = \frac{2 r}{S T} = \frac{S T}{M S}; r = \frac{S T^{2}}{2 M S} = \frac{P T^{2} + P S^{2} - P T \cdot P S}{\sqrt[]{3} \cdot P S} . \end{matrix}

Alkalmaztuk a koszinusz-tételt a

P T S

háromszögre (1. ábra).

1. ábra

Eredményünk akkor is érvényes, ha

S

azonos

N

-nel, vagyis

S T ⊥ P T

, és így a

P T S

háromszög egy a magasságával kettévágott szabályos háromszög egyik fele,

P S = 2 P T

, tehát

N T = \sqrt[]{3} \cdot P T

r = P T \sqrt[]{3} / 2 = P S \cdot \sqrt[]{3} / 4

; azonban a

P S = 2 P T

észrevételből hamarabb jutunk célba. Hasonlóan egyszerűen kaphatjuk az eredményt abban a speciális esetben is, ha

P T = 2 P S

, más szóval hogy

P S T ∢ = 90^{\circ}

Hárs László (Budapest, Berzsenyi D. gimn. III. o. t.)

II. megoldás. Legyen a kör

O

középpontjának vetülete a

T S

húron

U

, az

O

-tól különböző pont.

1. ábra

Így a

T O U ∢

szárai merőlegesek a

P T S ∢

száraira, ezért a

T O U

derékszögű háromszögből, valamint a

P T S

háromszögre a szinusz-tételt alkalmazva

\begin{matrix} sin T O U ∢ = \frac{T U}{r} = \frac{T S}{2 r} = \\ = sin P T S ∢ = P S \frac{sin T P S ∢}{T S} = \frac{P S \sqrt[]{3}}{2 T S} . \end{matrix}

A két eredményt összehasonlítva és alkalmazva a koszinusz-tételt:

\begin{matrix} r = \frac{T S^{2}}{\sqrt[]{3} \cdot P S} = \frac{P T^{2} + P S^{2} - P T \cdot P S}{\sqrt[]{3} \cdot P S} . \end{matrix}

Amennyiben

U

azonos

O

-val, akkor az

S T ⊥ P T

speciális eset áll fenn, amit már az I. megoldásban láttunk.

Faragó István (Budapest, Könyves Kálmán gimn. III. o.t.)