Kezdőlap


Feladat:	1562. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lőrincz Éva , Wittmann Róbert
Füzet:	1968/május, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1562. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott sorozat $n$ -edik tagja $a_{n}$ , ill. $b_{n}$ , differenciájuk $d_{a}$ , ill. $d_{b}$ , ekkor (természetesen föltéve, hogy $n > 1$ ):

\begin{matrix} d_{a} = \frac{a_{n} - a_{1}}{n - 1} = \frac{s_{a} - 2 a_{1}}{n - 1}, d_{b} = \frac{s_{b} - 2 b_{1}}{n - 1} . \end{matrix}

Ezek alapján a harmadik sorozat

i

-edik tagja

\begin{matrix} a_{i} b_{i} & = [a_{1} + (i - 1) d_{a}] [b_{1} + (i - 1) d_{b}] = \\ = a_{1} b_{1} + (a_{1} d_{b} + b_{1} d_{a}) (i - 1) + d_{a} d_{b} {(i - 1)}^{2}, \end{matrix}

végül a négyzetszámok összegének ismert képlete alapján a kérdéses összeg

\begin{matrix} S & = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{i} b_{i} + ... + a_{n} b_{n} = \\ = n a_{1} b_{1} + (a_{1} d_{b} + b_{1} d_{a}) [0 + 1 + ... + (i - 1) + ... + (n - 1)] + \\ + d_{a} d_{b} [0 + 1^{2} + ... + {(i - 1)}^{2} + ... + {(n - 1)}^{2}] = \\ = n a_{1} b_{1} + \frac{a_{1} s_{b} + b_{1} s_{a} - 4 a_{1} b_{1}}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) n}{2} + \\ + \frac{(s_{a} - 2 a_{1}) (s_{b} - 2 b_{1})}{{(n - 1)}^{2}} \cdot \frac{(n - 1) n (2 n - 1)}{6} = \\ = \frac{n}{6 (n - 1)} [(2 n - 1) s_{a} s_{b} - (n + 1) (a_{1} s_{b} + b_{1} s_{a} - 2 a_{1} b_{1})] . \end{matrix}

Az utolsó zárójel

a_{1} b_{n} + b_{1} a_{n}

alakban is írható.

Lőrincz Éva (Szekszárd, Garay J. gimn. IV. o. t.)
Wittmann Róbert (Budapest, Piarista gimn. IV. o. t.)