Kezdőlap


Feladat:	1561. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fodor István
Füzet:	1968/május, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1561. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltevések miatt az adott egyenletek valóban másodfokúak, továbbá gyökeik valósak. Legyen röviden

\begin{matrix} b^{2} - 4 a c = d^{2} és β^{2} - 4 α γ = δ^{2} . \end{matrix}

Feltesszük azt is, hogy

a > 0

α > 0

, amit ‐ ha kell ‐ az adott egyenletek (

- 1

)-gyel való szorzásával elérhetünk. Ekkor pl.

x_{1} = (- b - d) / 2 a

y_{2} = (- β + δ) / 2

, ahol

d

és

δ

a diszkrimináns nem-negatív négyzetgyökét jelenti.
Egy-egy a követelményeknek megfelelő egyenlet a gyökök és együtthatók közti ismert összefüggések alapján

\begin{matrix} z^{2} - (z_{1} + z_{2}) z + z_{1} z_{2} = 0, \end{matrix}

(2)

ill.

\begin{matrix} u^{2} - (u_{1} + u_{2}) u + u_{1} u_{2} = 0. \end{matrix}

(3)

Az elsőfokú tag együtthatója (1) szerint, majd a mondott összefüggéseket az adott egyenletekre alkalmazva (2) esetében

\begin{matrix} - (z_{1} + z_{2}) = - (x_{1} + x_{2}) - (y_{1} + y_{2}) = \frac{b}{a} + \frac{β}{α} = \frac{1}{a α} (a β + α b), \end{matrix}

és (3) esetében ugyanennyi. Az ismeretlent nem tartalmazó tag pedig

\begin{matrix} z_{1} z_{2} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} = \frac{c}{a} + \frac{γ}{α} + \frac{1}{4 a α} [(- b - d) (- β + δ) + \\ + (- b + d) (- β - δ)] = \frac{2 a γ + 2 α c + b β - d δ}{2 a α}, \end{matrix}

ill. hasonlóan

\begin{matrix} u_{1} u_{2} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} = \frac{2 a γ + 2 α c + b β + d δ}{2 a α} . \end{matrix}

Ezek alapján egy-egy megfelelő egyenlet, a törtek eltávolításával:

\begin{matrix} 2 a α z^{2} + 2 (a β + α b) z + (2 a γ + 2 α c + b β - d δ) = 0, \\ 2 a α u^{2} + 2 (a β + α b) u + (2 a γ + 2 α c + b β + d δ) = 0. \end{matrix}

Fodor István (Budapest, Kölcsey F. gimn. III. o. t.)