A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az szabályos ötszög megrajzolt átlói és , a oldal fölé szerkesztett szabályos háromszög új csúcsa . A szabad , , csúcsok valóban összeérnek egy pontban, a gúla létrejön. Ugyanis mindhárom fölhajtott lap egyenlő szárú háromszög, és száruk egyenlő az adott ötszög oldalával; másrészt a szabad csúcs a hajtásvonalnak az alapsíkban levő felező merőlegese fölött fordul el, pl. legföljebb az -re vett tükörképéig, e felező merőlegesnek van közös pontja, az adott ötszög középpontja, és ez rajta van mindhárom szakaszon , hiszen , és .
1. ábra
2. ábra Az alapháromszögnek a hosszú alapélhez tartozó magassága egyben az ötszög szimmetriatengelye, ebből a alapterület | | Legyen az ötszög átlója , ennek felezőpontja . Ekkor az oldallap magassága, ennek az alapsíkon levő vetülete, majd a gúla magassága
Végül a átló és a keresett térfogat:
Birkner Lajos (Budapest, Könyves Kálmán gimn. III. o. t.) Megjegyzések. 1. Mindegyik felhasznált szögfüggvényérték levezethető pl. -ból, ez pedig abból adódik, hogy ha az alapú, egyenlő szárú háromszög szárai közti szög , akkor az alapon levő egyik szög felezője két egyenlő szárú háromszögre bontja a háromszöget és közülük az alapra támaszkodó háromszög hasonló az eredetihez: , és ebből | | (a másik gyök negatív). Pl.
2. Akik ismerik az ún. Ptolemaiosz-Dürer-féle eljárást adott körbe írt szabályos tízszög és ötszög oldalának szerkesztésére, észreveszik, hogy gúlánk magassága egyenlő a kiindulási ötszög köré írt körbe írható szabályos tízszög oldalával.
3. ábra Valóban, a mondott eljárásban vesszük -nak sugarára merőleges átmérőjét,és az sugár felezőpontja körüli sugarú körrel metsszük az sugarat -ben. Ekkor , és így , másrészt , ugyanis az előző megjegyzés szerint | | így pedig valóban , ennélfogva a derékszögű háromszög egybevágó gúlánk háromszögével: . Meglátásunk alapján a térfogat kiszámításában egyszerűsödés adódik: | | ha ugyanis a -ba írt szabályos tízszög három egymás utáni csúcsa , , , akkor , és mint a tízszög legrövidebb átlója, . 3. A fentebbiekhez hasonlóan lehet megmutatni azt is, hogy az kör és az egyenes másik metszéspontját -val jelölve az ötszög átlója, egyszersmind a tízszög oldalát áthidaló átlójának hossza, pedig a oldalt áthidaló átló hossza. Lásd 1472. feladat, K. M. L. 34 (1967) 19. o.; 1213. feladat, 27 (1963) 20. o. |