Kezdőlap


Feladat:	1560. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkner Lajos
Füzet:	1968/április, 155 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Térfogat, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat, Gúlák
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/október: 1560. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A D_{1} B C D_{2}$ szabályos ötszög megrajzolt átlói $A B$ és $A C$ , a $B C$ oldal fölé szerkesztett szabályos háromszög új csúcsa $D_{3}$ . A szabad $D_{1}$ , $D_{2}$ , $D_{3}$ csúcsok valóban összeérnek egy $D$ pontban, a gúla létrejön. Ugyanis mindhárom fölhajtott lap egyenlő szárú háromszög, és száruk egyenlő az adott ötszög $a$ oldalával; másrészt a szabad csúcs a hajtásvonalnak az alapsíkban levő felező merőlegese fölött fordul el, pl. $D_{1}$ legföljebb az $A B$ -re vett $D'_{1}$ tükörképéig, e $3$ felező merőlegesnek van közös pontja, az adott ötszög $O$ középpontja, és ez rajta van mindhárom $D_{i} D'_{i}$ szakaszon $(i = 1, 2, 3)$ , hiszen $O A B ∢ = O A C ∢ =$ $= B A C ∢ / 2 = 18^{\circ} < 36^{\circ} = B A D_{1}$ , és $O B C ∢ = 54^{\circ} < 60^{\circ} = D_{3} B C$ .

1. ábra

2. ábra

Az alapháromszögnek a

B C = a

hosszú alapélhez tartozó

m

magassága egyben az ötszög szimmetriatengelye, ebből a

t

alapterület

\begin{matrix} m = \frac{a}{2} tg 72^{\circ}, t = {(\frac{a}{2})}^{2} \cdot tg 72^{\circ} = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

Legyen az ötszög

A B

átlója

d

, ennek felezőpontja

F

. Ekkor az

A B D

oldallap magassága, ennek az alapsíkon levő vetülete, majd a gúla magassága

\begin{matrix} D F = \frac{d}{2} tg 36^{\circ} = \frac{d}{2} \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{5}}, O F = \frac{d}{2} tg 18^{\circ} = \frac{d}{2} \sqrt[]{\frac{5 - 2 \sqrt[]{5}}{5}}, \\ D O = \sqrt[]{D F^{2} - O F^{2}} = \frac{d}{\sqrt[]{5}} \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

Végül a

d

átló és a keresett

V

térfogat:

\begin{matrix} d = \frac{a}{2 cos 72^{\circ}} = \frac{a}{2} (\sqrt[]{5} + 1), \\ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{5} + 1}{\sqrt[]{5}} \cdot \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{5}} = \frac{a^{3}}{24} (\sqrt[]{5} + 1) (\approx a^{3} \cdot 0, 135) . \end{matrix}

Birkner Lajos (Budapest, Könyves Kálmán gimn. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Mindegyik felhasznált szögfüggvényérték levezethető pl.

sin 18^{\circ}

-ból, ez pedig abból adódik, hogy ha az

a

alapú, egyenlő szárú háromszög

b

szárai közti szög

36^{\circ}

, akkor az alapon levő egyik szög felezője két egyenlő szárú háromszögre bontja a háromszöget és közülük az alapra támaszkodó háromszög hasonló az eredetihez:

(b - a) : a = a : b

, és ebből

\begin{matrix} {(\frac{a}{b})}^{2} + (\frac{a}{b}) - 1 = 0, sin 18^{\circ} = \frac{a}{2 b} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{4} \end{matrix}

(a másik gyök negatív). Pl.

\begin{matrix} sin 72^{\circ} = cos 18^{\circ} = \sqrt[]{1 - sin^{2} 18^{\circ}} = \frac{\sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}}}{4}, \\ tg 72^{\circ} = \frac{\sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}}}{\sqrt[]{5} - 1} = \sqrt[]{\frac{5 + \sqrt[]{5}}{3 - \sqrt[]{5}}} = \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

2. Akik ismerik az ún. Ptolemaiosz-Dürer-féle eljárást adott körbe írt szabályos tízszög és ötszög oldalának szerkesztésére, észreveszik, hogy gúlánk magassága egyenlő a kiindulási ötszög köré írt

k

körbe írható szabályos tízszög

a_{10}

oldalával.

3. ábra

Valóban, a mondott eljárásban^{$^{*}$} vesszük

k

-nak

O A

sugarára merőleges

L M

átmérőjét,és az

O M

sugár

N

felezőpontja körüli

N A

sugarú körrel metsszük az

O L

sugarat

P

-ben. Ekkor

O N = r / 2

A N = r \sqrt[]{5} / 2

és így

P O = r (\sqrt[]{5} - 1) / 2 = 2 r sin 18^{\circ} = a_{10}

, másrészt

A P = a_{5} = 2 r sin 36^{\circ} = 4 r sin 18^{\circ} \cdot cos 18^{\circ}

, ugyanis az előző megjegyzés szerint

\begin{matrix} a_{5}^{2} - a_{10}^{2} = 4 r^{2} sin^{2} 18^{\circ} (4 cos^{2} 18^{\circ} - 1) = r^{2} \frac{3 - \sqrt[]{5}}{2} \cdot \frac{3 + \sqrt[]{5}}{2} = r^{2}, \end{matrix}

így pedig valóban

a_{5}^{2} = a_{10}^{2} + r^{2} = P O^{2} + O A^{2} = A P^{2}

, ennélfogva a

P A O

derékszögű háromszög egybevágó gúlánk

D A O

háromszögével:

m_{0} = O D =

= O P = a_{10}

.
Meglátásunk alapján a térfogat kiszámításában egyszerűsödés adódik:

\begin{matrix} V = \frac{1}{3} t m_{0} = \frac{1}{6} (a d sin 72^{\circ}) \cdot a_{10} = \frac{a d}{12} \cdot (2 a_{10} sin 72^{\circ}) = \frac{a^{2} d}{12} = \frac{a^{3}}{24} (\sqrt[]{5} + 1), \end{matrix}

ha ugyanis a

k

-ba írt szabályos tízszög három egymás utáni csúcsa

B

A'

C

, akkor

B A' C ∢ / 2 = 72^{\circ}

, és mint a tízszög legrövidebb átlója,

a_{5} = B C = 2 B A' \cdot

\cdot sin (B A' C ∢ / 2) = 2 a_{10} sin 72^{\circ}

.
3. A fentebbiekhez hasonlóan lehet megmutatni azt is, hogy az

N