Kezdőlap


Feladat:	1558. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1968/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Trapézok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/október: 1558. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $b$ merőleges vetületét $a$ egyenesén $x$ -szel, pozitívnak vagy negatívnak tekintve aszerint, hogy a közös csúcstól $a$ irányában fekszik-e vagy $a$ meghosszabbításán; a trapéz magassága legyen $m$ .

Ezekkel a

b

d

e

f

szakaszok négyzetét kifejezzük Pitagorasz tétele alapján:

\begin{matrix} b^{2} = x^{2} + m^{2}, & e^{2} = {(a - x)}^{2} + m^{2}, \\ d^{2} = {(a - c - x)}^{2} + m^{2}, & f^{2} = {(c + x)}^{2} + m^{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} e^{4} - f^{4} = (e^{2} - f^{2}) (e^{2} + f^{2}) = \\ = (a + c) (a - c - 2 x) \cdot [a^{2} + c^{2} + 2 x^{2} + 2 m^{2} - 2 (a - c) x], \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} b^{2} + d^{2} = a^{2} + c^{2} + 2 x^{2} + 2 m^{2} - 2 a c - 2 (a - c) x, \\ d^{2} - b^{2} = (a - c) (a - c - 2 x) . \end{matrix}

Az utóbbiak felhasználásával az előbbi egyenlőség jobb oldalának utolsó két tényezőjéből kiküszöbölhetjük

x

-et, feltéve, hogy

a \neq c

\begin{matrix} e^{4} - f^{4} = (a + c) \frac{d^{2} - b^{2}}{a - c} \cdot (b^{2} + d^{2} + 2 a c) = \frac{a + c}{a - c} [d^{4} - b^{4} - (b^{2} - d^{2}) 2 a c], \end{matrix}

ez pedig a bizonyítandó összefüggés átrendezett alakja.

Megjegyzések. 1. A trapéz oldalaira tett nagyságrendi összefüggéseket nem használtuk fel, csak annyit, hogy

a \neq c

(vagyis trapézünk nem paralelogramma). Megoldásunk lényegében koordinátarendszer bevezetését jelenti, melynek

x

tengelye az

a

oldal egyenese, az

y

tengely pedig az erre a

b

-vel közös csúcsban emelt merőleges.
2. Számításunkból az is kiolvasható, hogy

\begin{matrix} e^{2} - f^{2} = \frac{a + c}{a - c} (d^{2} - b^{2}), e^{2} + f^{2} = b^{2} + d^{2} + 2 a c . \end{matrix}