|
Feladat: |
1556. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Backhausz Beáta , Bárász P. , Bencze Júlia , Bodor I. , Draschitz R. , Dörfner P. , Ésik Z. , Fazekas B. , Fiala T. , Fialovszky Alice , Gegesy F. , Horváth S. , Kardos J. , Katona V. , Kóczy L. , Kovalszky R. , Lempert László , Lengyel T. , Nagy Dénes , Nagy Zsigmond , Nikodémusz Anna , Pálvölgyi L. , Papp Z. , Sax Gy. , Siklósi M. , Stefanovicz K. , Tóth T. , Tölgyesi E. |
Füzet: |
1968/május,
209 - 210. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Mértani sorozat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/október: 1556. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. tagjainak száma , közülük ‐ tag együtthatója egyenlő: , így középen -gyel több egyenlő együtthatójú tag van, mint amennyi az -nek -gyel való osztásában fellépő maradék. Legyen , ahol , akkor a középső tagok száma , azaz , , vagy , és együtthatójuk . felbontható számú olyan mértani sorozat összegére, amelyek mindegyikében a hányados , a (jobbról számított) első tag rendre , a tagok száma -esével csökken, vagyis rendre , végül az utolsóban , majd minden egyes sorozat összegét zárt alakban írjuk (feltéve, hogy ):
Beszorzással és külön gyűjtve a számlálók első tagjait | | Az első összegből az utolsó tagot kiemelve a zárójelben a második zárójel tagjai maradnak, fordított sorrendben, és hányadosú mértani sorozatot alkotnak, ezért
amennyiben . Ennélfogva figyelembevételével | |
A kizárt esetben négy azonos számtani sorozatra bontható, egyenként számú taggal, középen pedig még tag áll, mindegyikük , így
esetén tagjai váltakozó előjelűek, így az ugyanazon együtthatójú ‐ tag összege , csak a abszolút értékű tagokat kell néznünk. Páratlan a esetén vagy nincs ilyen, vagy kettő van, és mivel szomszédok, mindenképpen . Páros , azaz és esetén pedig , mert a pozitív tagok vannak többségben, hiszen jobbról haladva. közép felé az -gyel nagyobb együtthatójú tagok közül az elsőben páros a kitevő. Lempert László (Budapest, Radnóti M. gyak. gimn. II. o. t.)
Megjegyzés. Eredményünk esetén is érvényes, amint a mértani sorozat összegképlete is érvényes esetén is. |
|