Feladat: 1556. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Backhausz Beáta ,  Bárász P. ,  Bencze Júlia ,  Bodor I. ,  Draschitz R. ,  Dörfner P. ,  Ésik Z. ,  Fazekas B. ,  Fiala T. ,  Fialovszky Alice ,  Gegesy F. ,  Horváth S. ,  Kardos J. ,  Katona V. ,  Kóczy L. ,  Kovalszky R. ,  Lempert László ,  Lengyel T. ,  Nagy Dénes ,  Nagy Zsigmond ,  Nikodémusz Anna ,  Pálvölgyi L. ,  Papp Z. ,  Sax Gy. ,  Siklósi M. ,  Stefanovicz K. ,  Tóth T. ,  Tölgyesi E. 
Füzet: 1968/május, 209 - 210. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/október: 1556. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

K tagjainak száma n+1, közülük 4‐4 tag együtthatója egyenlő: 1,2,..., így középen 1-gyel több egyenlő együtthatójú tag van, mint amennyi az n-nek 4-gyel való osztásában fellépő maradék. Legyen n=4p+q, ahol 0≤q<4, akkor a középső tagok száma q+1, azaz 1, 2, 3 vagy 4, és együtthatójuk p+1.
K felbontható p+1 számú olyan mértani sorozat összegére, amelyek mindegyikében a hányados x, a (jobbról számított) első tag rendre 1,x2,x4,...,x2p, a tagok száma 4-esével csökken, vagyis rendre n+1,n-3,n-7,...,q+5, végül az utolsóban n+1-4p=q+1, majd minden egyes sorozat összegét zárt alakban írjuk (feltéve, hogy x≠1):

K=(xn+xn-1+xn-2+...+x2+x+1)++(xn-2+xn-3+xn-4+...+x4+x3+x2)+...++(xn-2p+...+x2p)==xn+1-1x-1+x2⋅xn-3-1x-1+...+x2p⋅xn-4p+1-1x-1.
Beszorzással és külön gyűjtve a számlálók első tagjait
(x-1)⋅K=(xn+1+xn-1+...+xn-2p+1)-(1+x2+...+x2p).
Az első összegből az utolsó tagot kiemelve a zárójelben a második zárójel tagjai maradnak, fordított sorrendben, és x2 hányadosú mértani sorozatot alkotnak, ezért
(x-1)⋅K=(xn-2p+1-1)(1+x2+...+x2p)==(xn-2p+1-1)(x2p+2-1)x2-1,


amennyiben x2≠1. Ennélfogva 2p=(n-q)/2 figyelembevételével
K=(xn-q2+2-1)(xn+q2+1-1)(x-1)(x2-1).

A kizárt x=1 esetben K négy azonos számtani sorozatra bontható, egyenként p számú taggal, középen pedig még q+1 tag áll, mindegyikük p+1, így
K=4(1+2+...+p)+(q+1)(p+1)=(p+1)(2p+q+1)==18(n-q+4)(n+q+2).
x=-1 esetén K tagjai váltakozó előjelűek, így az ugyanazon együtthatójú 4‐4 tag összege 0, csak a p+1 abszolút értékű tagokat kell néznünk. Páratlan a esetén vagy nincs ilyen, vagy kettő van, és mivel szomszédok, mindenképpen K=0. Páros n, azaz q=0 és 2 esetén pedig K=p+1=(n-q+4)/4, mert a pozitív tagok vannak többségben, hiszen jobbról haladva. közép felé az 1-gyel nagyobb együtthatójú tagok közül az elsőben páros a kitevő.
 

  Lempert László (Budapest, Radnóti M. gyak. gimn. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Eredményünk x=0 esetén is érvényes, amint a mértani sorozat összegképlete is érvényes q=0 esetén is.