Feladat: 1555. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hárs László ,  Kövesi Gusztáv ,  Maróti Péter 
Füzet: 1968/november, 108 - 109. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelrendezések, Nim, Kettes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/október: 1555. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az adott T táblázaton* több, különböző jellegű szabályszerűség figyelhető meg.

 


 

Egyszerre csak az egyező számok helyzetét tekintve:
α) T szimmetrikus a balról jobbra lejtő a, és az emelkedő b átlóra nézve1 (ebből ‐ mint ismeretes ‐ következik, hogy T az átlók metszéspontjára tükrözve is önmagába menne át);
β) minden a T-ben föllépő szám mindegyik sorban és mindegyik oszlopban egyszer lép föl.
A különböző számok kölcsönös helyzetét és értékét is tekintetbe véve:
γ) az első sor és az első oszlop egyaránt természetes számokból álló, növekvő számtani sorozatot tartalmaz;
δ) az f függőleges középvonalra tükrös helyzetű számpárok összege ugyanannyi, és ugyanez áll a v középvonalra nézve tükrös számpárokra is.
T-nek csak kisebb részeit tekintve:
a felsorolt tulajdonságai megvannak annak a 4 kisebb táblázatnak is, amelyekre T-t f és v felosztják (T' táblázatok, α', β', γ', δ' tulajdonságok (α' az a', b' átlókra vonatkozik), továbbá annak a 16 db 2×2 számból álló táblázatnak is, amelyekre a T' táblázatokat az f'1, f'2, v'1, v'2 középvonalak felosztják (α''-δ'' tulajdonság).
II. További szabályszerűségek felsorolásától eltekinthetünk. Ugyanis ‐ mint többen észrevették ‐ a felsoroltak közül egyesek már következnek másikakból. Többen is megadtak olyan (kevés tulajdonságot tartalmazó) felsorolásokat, melyek egyes szabályszerűségei nem következnek egymásból, és amelyek alapján T visszaállítható. Először bemutatunk néhány példát, mit lehet ebből a szempontból mellőzni a fenti szabályszerűségek közül, másrészt azt is, hogy adott esetben mit nem lehetne.
Mindjárt β' csupán ismétli β-t, és persze β'' a β'-t; a felső két, valamint a bal oldali két T' táblázatra nézve γ' ismétli γ-t.
A bal felső és a jobb alsó T'-nek a' lejtős átlója közös T-vel, így ebben a tekintetben az α' tulajdonság mellőzhető volna, viszont b'1-re és b'2-re nézve újat mond. (Tulajdonképpen külön-külön kellene beszélni az egyes átlókról.)
β, γ, δ-nak a sorokra vonatkozó állításaiból és α-ból rendre következik az oszlopokra vonatkozó állítás.
δ az 1. sorra vonatkozóan csupán ismétli γ-t, de a 2‐7. sorokra vonatkozóan újat állít. (Ugyanis α, β, γ alapján több olyan táblázat is kiépíthető, mely első sorában egyezik T-vel, de második sora 1, 7, 0, 5, 2, 3, 4, 6, így pedig δ nem érvényes benne. Ha viszont a tulajdonságokat a γ, α, α' sorrendben vesszük észre (és az 1. sor 1. helyére 0-t írunk), ebből már a 4‐5. sorra is kiadódik δ, viszont a 2. sor még mindig lehetne pl. 1, 3, 0, 2, 5, 4, 7, 6 is, amiben δ nem érvényes. Ha azonban γ, α, α' után α''-t is alkalmazzuk, T-t visszaállítottuk. Ezzel már megadtunk egy kiépítési utasítást is.) III. T-nek egy további kiépítési lehetősége: az üres táblázatot már előre 2×2 mezős részekre osztjuk. Az 1. sor 1. eleme 0. A középvonalakra tükrös helyzetű számok összege a bal felső 2×2 mezős kis négyzetben 1, a bal felső 4×4 mezős négyzetben 3, az egész táblázatban pedig 7 legyen. ‐ Ez a fenti δ'', δ', δ tulajdonság; Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.) és Hárs László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) dolgozatából.
IV. Egy más jellegű kiépítési utasítás: a bal felső sarokba 0-t írunk, majd soronként balról jobbra haladva, tele sor után az alatta álló sort sorravéve az egymás utáni mezőkbe azt a legkisebb, nemnegatív, egész számot írjuk, amely a mezőnek sem a sorában, sem az oszlopában még nem fordult elő. (β és γ tulajdonság, Kövesi Gusztáv, Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. A táblázat eredetileg a ,,nim'' játék2,,jó'' állásainak megjegyzésére készült, arra az esetre, ha 3 halom van és egy halomban legfeljebb 7 tárgy. Ha pl. két halomban 3 és 5 tárgy van, akkor ‐ a 3-as sor és az 5-ös oszlop közös mezején álló szám szerint ‐ a harmadik halmot 6 tárgyra kell csökkentenünk. Amennyiben abban éppen 6 tárgy van, akkor az ellenfél helyes játéka esetén nem nyerhetünk, ha pedig kevesebb, pl. 2, akkor a 2, 3 számpárhoz olvassuk le hasonlóan, hogy 1-re csökkentendő a további halomban levő tárgyak száma.
Ezek alapján mondhatjuk ki a táblázat egy eddig rejtett szabályszerűségét: ha az A kezdőszámú sor és a B kezdőszámú oszlop kereszteződésében a C szám áll, akkor az (A, C) kereszteződésben B, a (B, C) kereszteződésben A áll.
Az olvasóra hagyjuk a táblázat és a 2-es számrendszer kapcsolatának további elemzését.
*A feladat kitűzésekor a táblázat a mostani ábrából csak a számokat tartalmazta.

1Attól természetesen eltekintünk, hogy a számjegyeket egy ferde tükrözés fekvő helyzetbe vinné át, két tükrözés pedig fejre is állíthatná.

2Lásd következő cikkünket: Dr. Báron Gyula: A nim-játék stratégiájáról: a nyerő stratégia felkutatása. K. M. L. 28 (1964) 193‐198. o. ‐ A nim-játék egy változatával foglalkozott az 1322. feladat, megoldását lásd K. M. L. 32 (1966) 148. o.