Kezdőlap


Feladat:	1553. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Martoni Viktor
Füzet:	1968/március, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/október: 1553. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk át a $b$ és $c$ alapú logaritmust is $a$ alapúra. A

\begin{matrix} log_{d} e = \frac{log_{f} e}{log_{f} d} \end{matrix}

azonosság alapján egyenletrendszerünk így alakítható:

\begin{matrix} log_{a} x - \frac{1}{2} log_{a} y = m, \frac{1}{2} log_{a} x - \frac{1}{3} log_{a} y = n, \end{matrix}

ami az előforduló logaritmusokra nézve elsőfokú egyenletrendszer. Innen

\begin{matrix} log_{a} x & = 4 m - 6 n, & log_{a} y & = 6 m - 12 n \\ x & = a^{4 m - 6 n}, & y & = a^{6 m - 12 n} . \end{matrix}

Természetesen feltettük, hogy

a

használható logaritmus-alapszámként, vagyis

a > 0

, de

a \neq 1

; ekkor ugyanez teljesül

b

-re és

c

-re is, és tetszés szerinti

m

n

(valós) értékpár esetén

x

y

pozitív számok.

Martoni Viktor (Veszprém, Lovassy L. g. I. o. t.)