Kezdőlap


Feladat:	1552. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lempert László
Füzet:	1968/április, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/szeptember: 1552. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Észrevesszük, hogy (1) és (2) kétismeretlenes rendszert alkot a $2 x + z = u$ és az $y$ ismeretlenekre. Kivonva (2)-t az (1) kétszereséből, adódik $7 y = 0$ , azaz $y = 0$ , és így (1)-ből

\begin{matrix} u = 2 x + z = 1. \end{matrix}

(4)

Ezek alapján (3)-ból

\begin{matrix} (8 x + 4 z) - z = 4 u - z = 4, z = 0, \end{matrix}

végül (4)-ből

x = 1 / 2

.
Eszerint csak

x = 1 / 2

y = z = 0

lehet a megoldás, és könnyen látható, hogy ez ki is elégíti a rendszert.
b) (2) és (1) fenti alakítása során

y

is kiesik, ha pl. (2)-ben

- y

helyére

6 y

-t írunk, vagyis

\begin{matrix} 4 x + 6 y + 2 z = 2. \end{matrix}

(

2^{*}

)

Így (

2^{*}

) csupán ismétli (1) követelését, mellőzhető. Tetszés szerint választva

y

értékét, (1)-ből

u = 1 - 3 y

, és így (3)-ból, majd ismét (1)-ből

\begin{matrix} - z = 4 - 5 y - 4 u = 7 y, x = \frac{u - z}{2} = 2 y + \frac{1}{2}, azaz \\ x = 2 y + 1 / 2, y = y, z = - 7 y \end{matrix}

bármely

y

esetén kielégíti az egy együttható megváltoztatásával nyert (1), (

2^{*}

), (3) rendszert.
c) Mint láttuk, az (1), (2) rendszerből egyértelműen

y = 0

u = 1

. Ez nem elégíti ki a

\begin{matrix} 3 u + 5 y = 4, azaz 6 x + 5 y + 3 z = 4 \end{matrix}

(

3^{* *}

)

egyenletet, tehát az (1), (2), (

3^{* *}

) rendszert egyetlen

x

y

z

számhármas sem elégíti ki.

Lempert László (Budapest, Radnóti M. gyak. gimn. II. o. t.)

Megjegyzés. Más alakban is kaphatunk a b) kérdésre végtelen sok megoldást, pl. ha (3) helyére

8 x + 5 y + 4 z = 4

-et írunk, ez ugyanis (1) kétszeresének és (2)-nek összege. Tetszés szerinti

x

-et választva

\begin{matrix} x = x, y = 0, z = 1 - 2 x \end{matrix}

kielégíti a megváltoztatott rendszert.