Kezdőlap


Feladat:	1550. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bogár Dezső , Tusnády Gábor
Füzet:	1968/március, 109 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Számsorozatok, Feladat, Rekurzív eljárások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/szeptember: 1550. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az utolsó napra maradt $n$ éremből kiszámíthatjuk, mennyi maradt az előzőre, abból az előző nap kiadott érmek számát, és így haladva végül a versenyen kiadott összes érmek számát. Általában, ha a $k$ -adik nap reggelén $m_{k}$ érem volt és a nap folyamán $d_{k}$ érmet adtak ki, akkor

\begin{matrix} d_{k} = k + \frac{m_{k} - k}{7} és \\ m_{k + 1} = m_{k} - d_{k} = m_{k} - k - \frac{1}{7} (m_{k} - k) = \frac{6}{7} (m_{k} - k) . & (1) \end{matrix}

Innen

m_{k}

-t kifejezve

m_{k + 1}

-gyel és a

7 / 6

törtet

q

-val jelölve

\begin{matrix} m_{k} = k + q m_{k + 1} . \end{matrix}

Így kapjuk sorra, hogy

\begin{matrix} m_{n} = n, m_{n - 1} = (n - 1) + q n, m_{n - 2} = (n - 2) + q (n - 1) + q^{2} n, ..., \end{matrix}

végül az összes (az első reggel még ki nem osztott) érmek száma

\begin{matrix} m = m_{1} = 1 + 2 q + 3 q^{2} + ... + n q^{n - 1} . \end{matrix}

Ezt az összeget egyszerűbb alakra hozhatjuk úgy, hogy eggyel-eggyel kevesebb tagú mértani sorokra bontjuk, és e sorozatokat egyenként összegezzük:

\begin{matrix} 1 + q + q^{2} + ... + q^{n - 2} + q^{n - 1} & = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}, \\ q + q^{2} + ... + q^{n - 2} + q^{n - 1} & = q \cdot \frac{q^{n - 1} - 1}{q - 1} = \frac{q^{n} - q}{q - 1}, \\ q^{2} + ... + q^{n - 2} + q^{n - 1} & = q^{2} \cdot \frac{q^{n - 2} - 1}{q - 1} = \frac{q^{n} - q^{2}}{q - 1}, \\ ... ... ... ... ... ... ... & ... ... ... ... ... ... ... ... ... \\ q^{n - 2} + q^{n - 1} & = q^{n - 2} \cdot \frac{q^{2} - 1}{q - 1} = \frac{q^{n} - q^{n - 2}}{q - 1}, \\ q^{n - 1} & = q^{n - 1} \cdot \frac{q - 1}{q - 1} = \frac{q^{n} - q^{n - 1}}{q - 1} . \end{matrix}

Az egymás utáni összegek nevezője és számlálójának első tagja egyenlő, második tagjuk pedig rendre a fenti első sorozat megfelelő tagjának

(- 1)

-szerese. Így az összegek összege,

q

értékét visszaírva és

6^{n + 1}

-nel bővítve

\begin{matrix} m = \frac{1}{q - 1} [n g^{n} - (1 + q + q^{2} + ... + q^{n - 2} + q^{n - 1})] = \frac{1}{q - 1} (n q^{n} - \frac{q^{n} - 1}{q - 1}) = \\ = \frac{n q^{n + 1} - (n + 1) q^{n} + 1}{{(q - 1)}^{2}} = \frac{n \cdot 7^{n + 1} - (n + 1) 7^{n} \cdot 6 + 6^{n + 1}}{6^{n - 1}} = \frac{7^{n} (n - 6)}{6^{n - 1}} + 6^{2} . & (2) \end{matrix}

Az utolsó alak első tagja egész szám kell, hogy legyen. Mivel

7^{n}

és

6^{n - 1}

egymáshoz relatív primek, azért

\begin{matrix} \frac{n - 6}{6^{n - 1}} \end{matrix}

(3)

egész szám. Azonban itt a számláló kisebb a nevezőnél, ugyanis

n - 1 > 0

, s így

\begin{matrix} 6^{n - 1} - 1 = (6 - 1) (6^{n - 2} + 6^{n - 3} + ... + 6 + 1) \geq 5 \cdot (n - 1), \end{matrix}

(a zárójelben minden tag helyébe

1

-et írtunk). Innen

\begin{matrix} 6^{n - 1} \geq 1 + 5 (n - 1) > n - 1. \end{matrix}

Másrészt

n

legalább

6

, hiszen

6

-szorosa az

n - 1

-edik napon az

n - 1

érem kiosztása után maradt érmek hetedének (ami szintén egész kell, hogy legyen). A (3) szám tehát nem negatív,

1

-nél kisebb és egész, így

0

-nak kell lennie. Eszerint

n = 6

, és az érmek száma (2) alapján

36

lehet csak. Ez meg is felel, mert ekkor az egyes napokon kiosztott érmek száma

\begin{matrix} 1 + \frac{36 - 1}{7} = 6, 2 + \frac{36 - 6 - 2}{7} = 6, 3 + \frac{36 - 2 \cdot 6 - 3}{7} = 6, \\ 4 + \frac{36 - 3 \cdot 6 - 4}{7} = 6, 5 + \frac{36 - 4 \cdot 6 - 5}{7} = 6 és 36 - 5 \cdot 6 = 6. \end{matrix}

Bogár Dezső (Tatabánya, Árpád gimn. III. o. t.)

II. megoldás. Keressünk összefüggést két egymás utáni napon kiadott érmek száma között. A fenti jelölésekkel (1) alapján

\begin{matrix} d_{k} = \frac{m_{k}}{7} + \frac{6}{7} k, így d_{k - 1} = \frac{m_{k - 1}}{7} + \frac{6}{7} k - \frac{6}{7}, \end{matrix}

ezekből

\begin{matrix} d_{k - 1} - d_{k} = \frac{m_{k - 1} - m_{k}}{7} - \frac{6}{7} = \frac{d_{k - 1}}{7} - \frac{6}{7}, \\ d_{k - 1} = \frac{7}{6} d_{k} - 1. & (4) \end{matrix}

Mármost

d_{n} = n

, így

d_{n - 1} = \frac{7}{6} n - 1

, és ez egész szám, tehát

n

osztható

6

-tal. Mivel

n > 1

, azért

n \geq 6

. Jelöljük a nem negatív

n - 6

számot

α

-val, így (4) alapján

\begin{matrix} d_{n - 1} = \frac{7}{6} (α + 6) - 1 = \frac{7}{6} α + 6, \\ d_{n - 2} = {(\frac{7}{6})}^{2} \cdot α + 6, ..., d_{1} = {(\frac{7}{6})}^{n - 1} \cdot α + 6. \end{matrix}

d_{1}

csak úgy lehet egész szám, ha

α = n - 6

osztható

6^{n - 1}

-nel. Ez csak

α = 0

esetén lehet lehetséges, hiszen

\begin{matrix} α = n - 6 < n - 1 < 1 + 6 ... + 6^{n - 2} = \frac{6^{n - 1} - 1}{6 - 1} < 6^{n - 1}, \end{matrix}

így a megoldás:

α = 0

n = 6

d_{1} = d_{2} = ... = d_{6} = 6

, és

m = 36

.
Tusnády Gábor