|
Feladat: |
1549. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárász P. , Barbarits A. , Barra K. , Békéssy P. , Berács J. , Bulkai T. , Csobádi P. , Draschitz R. , Gál Éva , Gönczi I. , Hárs L. , Kalán Annamária , Kocsis F. , Kóczy L. , Komjáth Péter , Kovalszky R. , Köpf V. , Lempert L. , Lengyel T. , Munk Sándor , Nagy Zsigmond , Neugebauer J. , Nikodémusz Anna , Pataki János , Sax Gy. , Schreiber Gy. , Siklósi Miklós , Somogyi Á. , Szeidl Gy. , Szenes Katalin , Tóth Tibor , Turi A. , Váradi József |
Füzet: |
1968/május,
208 - 209. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Hatványösszeg, Sorozat határértéke, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/szeptember: 1549. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Csak a páratlan indexekkel foglalkozunk, hiszen minden páros esetén a feltevés miatt . Az számok között van vegyesen pozitív is, negatív is, különben a sorozatnak egyetlen tagja sem lehetne . Az összeg kommutatív tulajdonsága alapján választhatjuk az indexeket úgy, hogy között nincs nagyobb, mint ‐ tehát ‐, továbbá, hogy az -cal ellentétes előjelű tagok abszolút értékei között nincs nagyobb, mint . Így egyrészt , másrészt . Megmutatjuk, hogy itt egyenlőség áll, vagyis , . Az eddigiek alapján így alakítható: | | (1) | ahol . Ez a hányados egyik -nál sem nagyobb, ha . Másrészt páratlan esetén az függvény monoton növekvő, ezért a nagy zárójelben az első tag mindegyike helyére a hetedik tagot írva a kifejezés értéke csökken, vagy változatlan marad: | | (2) |
Ha mármost , akkor növekedésével a jobb oldal második tagja nő ‐ mert negatív, és abszolút értékben csökken ‐, ezért egy bizonyos küszöbértéket átlépve a jobb oldal értéke mindig pozitív, tehát a bal oldalé is. Valóban
hiszen ekkor , és így , tehát küszöbértékként megfelel ahol a szögletes zárójel a benne álló hányados egész részét jelöli. Ezek szerint minden az -nál nagyobb index esetén (2) bal oldala pozitív, és (1) szerint ugyanolyan előjelű, mint , nem lehet tehát végtelen sok olyan , amelyre . Így valóban , amint állítottuk, és minden (páratlan) -re , ennélfogva Ha mármost között nincs -tól különböző, akkor minden páratlan -re , és a kérdésre a választ megadtuk. Ha viszont a feltevés az számokra is teljesül, meggondolásunkat és megállapodásainkat és helyén -tal és -tel, majd szükség esetén -gyel és -mal ismételve kapjuk, hogy , ill. , ennélfogva minden páratlan -re . És ha még , közül sem mindegyik , akkor bármely olyan -ből, amelyre , adódik és , hiszen páratlan kitevő esetén a gyökvonás (a valós számok körében) egyértelmű, és ekkor minden -re . Így minden esetben minden páratlan -re teljesül . Komjáth Péter (Budapest, Fazekas M. gyak. gimn. I. o. t.)
Munk Sándor (Budapest, Rákóczi F. gimn. IV. o. t.)
Siklósi Miklós (Budapest, Berzsenyi D. gimn. III. o. t.)
|
|