A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Egy az előírásoknak megfelelő háromszöget a következő lépésekben keresünk. 1. Az háromszög és oldala fölé, kifelé megszerkesztjük az , ill. nyílású , ill. látószög körívet ‐ ezen kell lennie a , ill. csúcsnak; 2. -on át olyan egyenest veszünk fel, mely mindkét ívet metszi egy-egy belső pontjukban ‐ és így természetesen kívül halad -on ‐, legyen a metszéspont , ill. ; 3. megkeressük a és egyenesek metszéspontját. Az így szerkesztett háromszögben -nél , -nál nagyságú szög van, tehát , csúcsaik a felsorolás rendjében felelnek meg egymásnak, és az , , egyenesek rendre átmennek a , , ponton. Megjegyezzük, hogy a mondott pont mindig azon a körön adódik, amelynek húrja, és -lal ellentétes oldalon levő ívének pontjaiból a húr szögben látszik. Ha ugyanis az adódó tartalmazza -t, akkor az egyenes -t nem tartalmazó partján van, és belőle az szakasz szögben látszik; ha pedig nem tartalmazza -t, mert az egyenesnek -t tartalmazó partján adódott ‐ lásd az ábra háromszögét, nincs rajta az szakaszon, átmetszi -t, akkor -ből az szakasz szögben látszik, és ezért van rajta -n. Az háromszögben látott példára tekintettel megmutatjuk, hogy mindig felvehető -n át olyan egyenes, hogy a belőle szerkesztett háromszög valódi körülírt háromszöge az háromszögnek. Ilyen a -on átmenő, -lal párhuzamos egyenes. Ekkor ugyanis az , félegyenesek az egyenes -t tartalmazó oldalán vannak, az szakasszal bezárt szögük rendre , , ezek összege , ezért a két félegyenes nem metszi egymást, csak visszafelé való meghosszabbításaik, tehát az egyenes -t nem tartalmazó oldalán adódik, és a belsejében tartalmazza -t.
II. Azt is kaptuk, hogy tetszés szerinti számú, a követelményeknek megfelelő háromszög szerkeszthető. Ezek egymáshoz is hasonlók, tehát közülük az a legnagyobb területű, amelyikben pl. a oldal hossza a legnagyobb. Tekintsük az és íveket tartalmazó , körök -tól különböző metszéspontját. Ez mindkét ívnek a kiegészítő ívén, az szögtartományban van, mert a körök -beli érintői a , egyenessel rendre , szöget zárnak be és e két szög átfedi egymást, mert a feltevés alapján | | Ennélfogva -nek -n való mozgása közben az szög állandó, és ugyanez áll az szögre. Így pedig, -t változtatva, az -ben közös csúccsal bíró háromszögek is hasonlók, és akkor a legnagyobb, ha a legnagyobb, vagyis ha a -nek -mel átellenes pontjában van. Ezzel eljárást kaptunk a keresett legnagyobb területű háromszög megszerkesztésére: a egyenes -ból kimetszi -ot, és a , egyenespár metszéspontja . megfelel az előbbi előírásoknak is, mert az szög derékszög, tehát az szög is . Így az -n, az -n van, hiszen és hegyesszögek, az ívek nagyobbak félkörnél. Hasonlóan a , oldalszakasz tartalmazza -t, ill. -t. Ennek bizonyításához felhasználjuk, hogy ‐ mint láttuk ‐ a -n van, továbbá hogy is átmegy -en. Valóban, mint láttuk, | | ezért összegük és közé esik, benne van -ban, és , tehát az -t kiegészítő ív pontja. Ekkor pedig miatt , tehát a -nek -mel átellenes pontja. Megjegyzés. hegyesszögű voltának felhasználása nélkül is belátható, hogy mindig húzható -on át olyan egyenes, hogy a belőle kapott háromszög valódi körülirt háromszöge -nak. Válasszunk egy alapirányt, járjuk körül -t és -t, és írjuk fel mindegyik oldaluknak mint félegyenesnek az irányszögét, vagyis azt, mekkora elfordulás viszi át az alapirányt az illető félegyenesbe, majd ezekből annak feltételeit, hogy -nak mindhárom oldalegyenese -on kívül haladjon. Feltehetjük, hogy körüljárása pozitív, hiszen ezt ‐ ha kell ‐ két csúcs betűzésének fölcserélésével elérhetjük. Így körüljárása is pozitív lesz, és az irányszög minden egyes csúcson áthaladva, az illető csúcsnál levő külső szöggel nő. Legyen az alapirány az félegyenes iránya, legyenek továbbá egymás utáni szögei , , végül a félegyenes irányszöge . Így az irányszögek:
A félegyenes -on kívül halad, ha irányszöge és irányszöge közé esik: Hasonlóan az , félegyenesből | | azaz -re megoldva
Mármost -nek bármelyik kapott felső korlátjából bármelyik másik kettős egyenlőtlenségbeli alsó korlátját kivonva pozitív különbséget kapunk, ugyanis a különbség így alakítható: | | ennélfogva a felső korlátok legkisebbike nagyobb az alsó korlátok legnagyobbikánál. Így pedig van az (1)‐(3)-nak eleget tevő irányszög; ezt akartuk belátni. Tetszés szerinti , háromszög-pár esetén adódhat az nagyságviszony; ekkor a hegyesszögek esetére fönt ajánlott irányszögű egyenes nem felelne meg. |