|
Feladat: |
1546. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárász P. , Barbarits A. , Berács J. , Birkner L. , Boda S. , Bornemisza J. , Csobádi P. , Erdész L. , Ésik Z. , Gömze L. , Hárs L. , Hernádi János , Kalán Annamária , Kecskeméty K. , Kemény A. , Kocsis F. , Komjáth P. , Koren A. , Kovalszky R. , Köpf V. , Környei M. , Lempert L. , Lengyel T. , Maróti P. , Nagy Dénes , Nagy Zsigmond , Pap István , Papp Zoltán , Pataki István , Prőhle T. , Sax Gy. , Siklósi M. , Szabó András (Berlin) , Viszkei Gy. |
Füzet: |
1968/április,
151 - 152. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térfogat, Tetraéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/szeptember: 1546. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a kérdéses tetraéderen , ekkor az élben találkozó és háromszöglapok egyik oldala sem nagyobb -nél. Úgy fogjuk módosítani -t, hogy a feltételek továbbra is teljesüljenek és az új térfogat minél nagyobb legyen. Állítsuk -t az lapra és toljuk el és csúcsát -vel párhuzamosan az él felező merőleges síkjába, a , ill. helyzetbe (ha valamelyik e csúcsok közül éppen -ben van, azt változatlanul hagyjuk).
Így az tetraéder térfogata egyenlő -nek térfogatával, mert , ill. alaplapjuk területe, valamint rá merőleges magasságuk egyenlő, hiszen párhuzamos az alaplap síkjával. A , , , élek egyike sem nagyobb -nél, mert ha pl. eredetileg állt, akkor . Toljuk el -et az alapsíkban, -et az síkban az szakasz felező merőleges egyenese mentén a , ill. helyzetbe úgy, hogy legyen. Így az tetraéder térfogata nagyobb -nél, vagy egyenlő vele, hiszen sem alaplapjának területe, sem erre merőleges magassága nem kisebb fent említett alaplapjánál, ill. magasságánál. Fordítsuk végül az lapot az alapsíkra merőleges helyzetbe, és legyen új helyzete , ekkor az tetraéder térfogatára egyrészt , másrészt hosszát -val, felezőpontját -fel jelölve | | hiszen az alap és vele szemben a , , ill. csúcs egybevágó egyenlőszárú háromszögeket határoz meg, egységnyi szárral. A feladat állításának bizonyításául elég belátnunk, hogy ha , akkor térfogategység. Valóban, | | mert az utolsó alakban egyik zárójeles tényező sem negatív, hiszen a másodikban sem , sem nem nagyobb -nél. Ha , akkor , és qmallskip Hernádi János (Budapest, Berzsenyi D. gimn. III. o. t.) Megjegyzés. -höz egy lépésben jutunk a következő meggondolással. Az élekre tett feltevés miatt benne van az és csúcsok köré írt egységsugarú gömbök közös részében. Ezek az lap síkját egységsugarú körökben metszik, és e két kör egyik metszéspontja a fenti , a két kör közös részének az egyenestől legtávolabbi pontja. Ugyanígy a két gömb közös részében egyetlen pont sem lehet messzebb az egyenestől, mint , és az lapsíknak az a pontja az egyenesnek -t tartalmazó oldalán, ahol e lapsík által a két gömbből kimetszett egységkör metszi egymást. |
|