|
Feladat: |
1543. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh J. , Berkes Z. , Bulkai T. , Csörgei J. , Draschitz R. , Gegesy F. , Horváth Sándor , Katona V. , Lublóy L. , Mészáros J. , Mitrocsák Anikó , Péceli G. , Péli Katalin , Perémy G. , Rácz Éva , Sulyok Elza , Takács L. , Varga Gabriella , Vetier A. , Zambó Péter |
Füzet: |
1968/január,
16 - 18. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat, Trigonometriai azonosságok |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/május: 1543. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A keresett pont az szakasz nyílású látókörívpárjának az szakasz nyílású látókörívpárjával közös pontja. Elég venni azonban az ívpárokból azt az ívet, amely a szakasznak azon a partján van, mint az négyszög, hiszen a -os íveket az egyenestől elválasztja a vele párhuzamos egyenes ‐ ahol a szabályos hatszög középpontja, másrészt a -os ív benne van a hatszög körülírt körében ‐ hiszen az utóbbinak pontjaiból látószöge csupán , a -os ívpárnak -en kívüli tagja viszont -n is kívül van, mert az ív pontjaiból a látószög. A megtartott , látókörívek az ábra szerint két pontban metszik egymást, legyenek ezek és úgy, hogy , legyen , középpontja , ill. . Az látószög céljára kiszámítjuk a háromszög másik két szögét.
az utolsó szögön a pontot tartalmazó konkáv szög értendő: | | A felhasználandó szögeket az , , és háromszögekből számítjuk. derékszögű háromszög, mert kiegészítő ívéről -t -os szögben látni, és ugyanakkora az , ezért érinti -t. Továbbá , mert a és közös húrja, így . A szabályos hatszög oldalát -val jelölve , . Az háromszögben -nál -os, -nél -os szög van, tehát , így , .
, így a koszinusz‐tétellel , a szinusz‐tétellel , és így .
Az háromszög szögeit a félszög‐képletekkel számítjuk az oldalakból: , (vagy a koszinusz‐tétel alapján). Eredményeinket beírva (1)-be és (2)-be | |
a -nek tükrös párja -re, ezért az innen vett látószög céljára az és az szöget hozzáadás helyett kivonjuk: .
A dolgozatok többsége koordináta‐geometriai úton oldotta meg a feladatot (ahogyan az országos felmérésben, az ún. háromszögelésben is a pontokat koordinátáikkal tekintik meghatározottnak). Ilyen a következő.
II. megoldás (vázlat). Legyen a derékszögű koordinátarendszer -tengelye az egyenes, origója az szakasz felezőpontja, hosszúságegysége az szakasz. A fenti jelöléseket tovább is használjuk. egyenlete , egyenlete , ezek metszéspontjaként koordinátái 3 tizedes pontossággal: (; ), és az -et tartalmazó kör egyenlete: | | Hasonlóan az -t tartalmazó kör egyenlete: Metszéspontjaik koordinátái: | | Másrészt | | így a keresett pontból az előírt pontokba mutató félegyenes iránytangense, majd irányszöge esetén | | Hasonlóan irányszöge , ezekből , másrészt esetére .
Zambó Péter (Miskolc, Földes F. g. II. o. t.) Horváth Sándor (Budapest, I. István g. III. o. t.) III. megoldás. Az I. megoldás szerint az belsejében van, így az egymás utáni oldalak -ből vett látószögeinek összege . Legyen , továbbá ; ekkor , , , , másrészt , , . A és háromszögekből a színusz‐tétel, majd az addíció‐tétel alapján kifejezhetjük -t;
Másrészt hasonlóan a és háromszögekből
amiből, felhasználva, hogy , (3)és (4) jobb oldalából az első tagok különbsége | | a nevező azonos (3) második tagja nevezőjével és a azonosság felhasználásával így alakul: , ezért (3) és (4) különbségéből
Sulyok Elza (Nagybátony‐Bányaváros, Gimn., II. o. t.)
|
|