A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Ismeretes, hogy az háromszög oldalegyenese és magasságegyenese felezi az talpponti háromszög belső és külső szögeit ‐ természetesen amennyiben a talpponti háromszög létrejön, vagyis ha az eredeti háromszög nem derékszögű. Pontosabban: hegyesszögű háromszög talpponti háromszögének belső szögeit a magasságegyenes felezi (ennélfogva a rájuk rendre merőlegesen álló oldalegyenesek a külső szögeket felezik), tompaszögű háromszög talpponti háromszögében a tompaszöget alkotó oldalegyenes és a tompaszög csúcsából kiinduló magasság játsszák a belső szögfelezők szerepét (. a, b, c ábra, az háromszög beírt körének középpontja rendre , a tételben kiemelt csúcs, ill. ).
1.a. ábra Tekintsük az szögfelezővel kettévágott talpponti háromszögnek részháromszögét, és alkalmazzuk ennek -ből kiinduló és szögfelezőire a szögfelezők osztásarányára vonatkozó tételt (. a és b ábra, csupán és külső, ill. belső szerepe cserélődik fel):
A két szélső arány egybevetéséből rendezéssel kapjuk (1)-et. Ugyanez az . c és . d ábra esetében is érvényes, itt a , ill. a háromszög magában tartalmazza a talpponti háromszöget. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. (Ha nem jön létre (pl. . e ábra), mert , tehát , akkor az állítás tárgytalan.) A kívánt szerkesztés céljára megállapítjuk, hogy és egyike az szakaszon van ‐ ti. közülük a belső szögfelezőn levő pont ‐, másika pedig az szakasz meghosszabbításán, ennélfogva fordítva is, az , pontpár egyike belső pontja az szakasznak, másika pedig e szakasz meghosszabbításán van. b) Az (1) alapján adandó szerkesztésben ‐ az 1447. feladat betűzését megtartva ‐ a és a oldal , ill. felezőpontját tekintjük adottnak. Az ottani I. és II. megoldásból felhasználjuk, hogy egyrészt , másrészt hogy és hasonló háromszögek, és megfelelő csúcsaik egymás utáni körüljárásában az irány egymással ellentétes, ezért a félegyenest -be átvivő elfordulás egyenlő és ellentétes irányú a -et -be átvivő elfordulással. 2. Ezek alapján megrajzoljuk a egyenest, ebből a közte és között levő szög átmásolásával a egyenest, és ekkor az -ből -ra állított merőleges, az magasságegyenes, kimetszi -ből -t, -ből -t. Ezután az , , ponthármashoz megszerkesztjük az (1)-nek eleget tevő pontot, figyelembe véve a négy pont kölcsönös helyzetéről fent mondottakat. Az pont meghatározását megkönnyíti a következő észrevétel: az háromszögben az és a szakaszok fölé rajzolt , Thalész-körök átmennek a , pontokon, így centrálisuk nem más, mint a közös húr felező merőlegese, vagyis a egyenes. Emiatt a egyenes az egyenest az szakasz felezőpontjában metszi. Legyen és metszéspontja , és az középpontú, -en átmenő kör , ebben -nek átellenes pontja . -nak -vel alkotott metszéspontjait tetszőleges sorrendben -nek, -nek véve, kapjuk az , oldalegyeneseket, melyekből az , magasságvonalak metszik ki a , csúcsokat. Mivel -ben átmérő, húr, így , és az , háromszögek hasonlósága miatt következik. Ez tehát a szerkeszthetőség szükséges feltétele. Ez a feltétel nem zárja ki és egybeesését, amikor ‐ mint azt korábbi megoldásainkban láttuk ‐ derékszögű háromszöget kapunk, végtelen sok megoldás van. Szerkesztésünk helyességének a vizsgálatánál feltesszük, hogy , , különböző pontok, és , továbbá hogy nincs rajta a egyenesen. Ekkor szerkesztésünk szerint a és egyenesek meghatározhatók. Ha a egyenesen van, akkor is átmegy -en szerkesztésünk szerint, és , valamint azonos -mel. Az egyenesnek ebben az esetben az -ben -ra emelt merőleges felel meg, és mivel az egyenes nem merőleges -re, ebben az esetben is meghatározható. Ha nincs rajta -n, akkor az -n levő vetülete -től különböző pont. Megmutatjuk, hogy az a forgatás, mely a egyenest -be viszi, az egyenest -vel párhuzamos helyzetbe viszi. Valóban, -t először körül -val elforgatva -be jutunk, majd -kal elforgatva -be, végül -vel elforgatva -be. Ha e három forgatást más sorrendben hajtjuk végre, nevezetesen -t először -vel forgatjuk el, akkor -t kapjuk, majd -kal elforgatva kapjuk -t, végül ezt az egyenest -val forgatva kapjuk -t. E három forgatás végeredménye ‐ irány szempontjából ‐ nem függ sorrendjüktől, tehát párhuzamos -vel, vagyis az egyenest körül -val elforgatva az egyenest kapjuk. Mivel a kisebb a szögnél (hiszen ), az egyenes a egyenest a -n túli meghosszabbításában metszi. Így az pont mindig létrejön, és az szakaszon van. Az háromszög -nél levő szöge a háromszög külső szöge, így nagyobb az , és az azzal egyenlő szögnél, ezért az háromszögben -val szemben nagyobb szög van, mint -val szemben ezért , tehát a belsejében van, a , metszéspontok valóban létrejönnek. Ha és egyike sem azonos a , pontokkal, akkor az , egyenesek meg vannak határozva két-két pontjukkal, és nem párhuzamosak, hiszen , nem lehetnek átellenes pontjai, így létrejön, és hasonlóan bizonyítható létezése is. A kapott háromszögben , magasságvonalak, tehát magasságpont és , . A szakasz felezőpontja elemzésünk szerint az egyenesen van, hiszen ez és centrálisa, és , hasonlósága, valamint szerkesztésünk miatt , azaz az egyenesen is rajta van. Eszerint azonos az , egyenesek közös pontjával, -vel, tehát a keresett háromszög. Ha a , pontok egyikével, mondjuk -vel azonos, akkor is azonos -mel, és -t az , egyenesek metszéspontja adja. Ebben az esetben -nél derékszög van, és valóban magasságpont, , pedig az előírt szakaszokat felezik. Ha azonos a , egyikével, akkor feladatunknak nincs megoldása. Végül, ha a egyenesen van, akkor nem jön létre, így -t közvetlenül (1) alapján kell megszerkesztenünk: ha a szakaszon van, a fölé rajzolt Thalész-kört a -re -ben emelt merőleges messe az , pontokban, ekkor a kör és -beli érintőinek a metszéspontja lesz ; ha pedig a szakasz meghosszabbításán van, akkor az -ből -höz húzott érintők érintési pontja lesz és , és -ből az egyenes metszi ki -t. A szerkesztés további lépései, és a szerkesztés helyességének a bizonyítása ennek megfelelően módosul. |