A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Kipróbálhatnánk az adott jegyekből képezhető mindegyik számot, hogy négyzetszám-e, azonban közülük igen sokat kipróbálás nélkül kizárhatunk. Tudjuk, hogy négyzetszám csak , , , , vagy jegyre végződhet, hiszen szorzat utolsó jegyét a tényezők utolsó jegyének a szorzata határozza meg, négyzetszám utolsó jegyét tehát az alap utolsó jegye: a , , , , számok négyzetének utolsó jegye pedig a felsorolt számjegyek valamelyike. Ezek közül esetünkben csak a és jön tekintetbe. csak -ra végződő szám négyzete végén állhat és ilyen végén mindig páros számú áll. Esetünkben ez a szám csak kettő lehet, tehát csak a -ra végződő, ,,kerek'' négyzetszámok jönnek tekintetbe. Ha az utolsó jegy , akkor a szám páratlan szám négyzete. Az ilyen -gyel, sőt -cal osztva is -et ad maradékul. Valóban, ha az alap alakú, akkor négyzete és itt és közül valamelyik páros, amivel igazoltuk állításunkat. Tudjuk, hogy egy szám -gyel való osztási maradéka az utolsó két jegyből alkotott szám maradékával egyezik meg, a -cal való osztás maradéka pedig az utolsó három jegyből alkotott szám maradékával. Így kiesnek a -re végződő számok, mert -gyel osztva -at adnak maradékul, a utolsó jegyet nézve pedig a -re, -re és -re végződő számok, mert ezek -cal osztva -öt adnak maradékul. Így -jegyű végződésként a , és jön csak tekintetbe. Visszatérve a végű számokra, azokból az utolsó két jegy elhagyásával is négyzetszám marad, ezek tehát a , , , , , , jegyekből alkotott négyzetszámokból keletkeznek két -nak a végére írásával, amit úgy is mondhatunk, hogy a keresett négyzetszámok közül a legalább két -val kezdődőkből az első két végére írásával. A továbbiakban sem a végződésük alapján szóba jövő számokból próbáljunk négyzetgyököt vonni, hanem további szempontokból is megnézzük, melyek azok a számok, amelyeknek a négyzetei szóba jöhetnek, és hogy ezek négyzetei a megfelelő alakúak-e. A szóba jövő alapokról megállapíthatjuk, hogy oszthatóknak kell lenniük -mal, mert a megadott jegyek összege , s így minden belőlük alkotott szám osztható -cel, ez pedig csak -mal osztható számok négyzetére teljesül. A négyzet utolsó három jegyéből megállapíthatjuk az alap utolsó három jegyére szóba jövő számcsoportokat is. Ha ugyanis és négyzetének utolsó három jegye megegyezik, akkor négyzeteik különbsége: osztható -rel. Mivel a két tényező egyszerre páros vagy páratlan, így esetünkben mindkettőnek párosnak kell lennie. Másrészt a szorzatnak oszthatónak kell lennie -tel. Esetünkben nem lehet mindkét tényező osztható -tel, ugyanis a , , végződések esetén rendre , , ill. -nek választható. Az jobb oldalán álló két tényező különbsége, , egyik esetben sem osztható -tel, így valóban nem lehet mindkét tényező osztható -tel. A szorzat tehát csak úgy lehet -tel osztható, ha az -tel osztható tényező -tel is osztható. Mivel még mindkét tényező páros is, tehát vagy , vagy alakja , tehát Ez a négyzet , , végződése esetén (ha -nak az , , , értékeket adjuk és -nek a fenti , , számokat választjuk) a következő nyolc-nyolc lehetséges végződést adja az alapra:
Végül még az első néhány jegy lehetséges értékeit is tekintetbe véve, korlátokat állapíthatunk meg az alapra. A jegyekkel kezdődő számokra a megadott jegyekből csak a végződés lehetséges, így a kérdéses négyzetszám , vagy vagy lehet. Ezek négyzetgyöke csak -nál nagyobb és -nál kisebb háromjegyű szám lehet, tehát csak lehetne, de ennek a négyzete nem felel meg. A -gyel és -vel kezdődő számok négyzete -re vagy -re végződhet, így az ( , ), ill. ( , ) számközbe kell esnie, ha az adott számjegyekkel írható. Az alap tehát, durván számolva, az | | számközbe eshet csak. A megengedett végződéseket tekintetbe véve, az elsőből az és jön tekintetbe, a másodikból . Az utolsó nem osztható -mal, az első kettő megfelel: | | ezért a fentiek szerint megfelel a következő kettő is: | | Ezzel, előrebocsátott megjegyzésünk szerint az összes szóba jövő, -ra végződő négyzetszámot meg is kaptuk, hiszen a lehetséges, -val kezdődőket már számba vettük. A további számokra a lehetséges kezdő jegycsoport szerint osztályozva és a lehetséges végső jegyeket is figyelembe véve, a következő számközök adódnak:
Az N-re adódó számközökbe eső és a (2) táblázatban adott jegyekkel végződő számok az első két intervallumnál nincsenek, a többieknél sorra a következők:
3489̲,3499;4489,4499,4501,4511,4601,4649;10001,10011̲,10101̲;10489,10499,10501,10511;10989̲,10999,11001̲,11011;14149;14489,14499̲,14501,14511̲;14851,14899.
Közülük csak az aláhúzottak oszthatók 3-mal. Ezeket négyzetre emelve a következő megfelelő számokat kapjuk: 100112=100220121,110012=121022001 és144992=210221001.
A korábban talált 4 számmal együtt tehát 7 kívánt alakú négyzetszám adódott. b) Mindjárt látjuk, hogy a talált négyzetszámok közül 6 olyan párokba rendezhető, melyekben a jegyek sorrendje fordított, és ugyanez áll a megfelelő alapokra is, ha az első kettőt az értelemszerűen megengedett 01011, ill. 01101 alakban írjuk. Ugyanez a 6 négyzetre emelés bármely B(≥3) alapú számrendszerben érvényes, ugyanis pl. a 100220121=100112 megoldás a | B8+2B5+2B4+B2+2B+1=(B4+B+1)2 | azonosságnak csupán más alakja. Az utoljára talált megoldás miatt a feladat mindkét kérdésére a válasz nemleges, ugyanis abban a megfordított számjegysor végén 2 áll, másrészt | 2B8+B7+2B5+2B4+B3+1=(B4+4B3+4B2+9B+9)2 | (3) | nem azonosság. Úgy is fogalmazhatjuk, hogy az első hat négyzetre emelésnél nem kerül sor tízes átvitelre, s így azok nem függenek az alapszámtól ‐ mindaddig, míg az nagyobb az egyes részletszorzatoknál, amik esetünkben 0, 1 vagy 2 értékűek. Az utolsó négyzetre emelésben viszont fellép tízes átvitel és ez más-más alapszám esetén másképp alakul. Bajmóczy Ervin, Perény Gábor és Pintz János dolgozatának felhasználásával
Megjegyzés. A talált utolsó megoldás semmilyen más számrendszerben nem érvényes. Ugyanis (3)-ban a 0-ra redukálás, valamint a B=10 gyökhöz tartozó B-10 gyöktényezővel való osztás után a hányados-polinom minden együtthatója pozitív, tehát minden B>0 számra pozitív az értéke. |