Feladat: 1538. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Zöldy Béla 
Füzet: 1968/március, 105 - 106. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Különleges függvények, Lottó, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/május: 1538. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A második számon kézenfekvő a kihúzott számok szokásos ‐ növekvően rendezett ‐ felsorolásának második tagját érteni.1
a) Legyen a húzás második száma M, eszerint az M-nél kisebb számok közül ‐ amelyeknek száma M-1 ‐ egyet húztak ki, a 90-M db nála nagyobb szám közül pedig hármat. Így a kisebb szám M-1-féleképpen választható, a nagyobbak közül az első 90-M-féleképpen, a második, majd a harmadik a maradókból 89-M, ill. 88-M-féleképpen. Mármost az f(M)=(M-1)⋅(90-M)(89-M)(88-M) szorzat ‐ némileg a húzás időbeli sorrendjét is figyelembe véve ‐ azt adja meg, hányféleképpen alakulhat ki egy számunkra megfelelő húzás, ti. azzal a megszorítással, hogy időben elsőnek M-et, és másodiknak a nála kisebbet húzták ki. Könnyű belátni, hogy f(M) 6-szor akkora, mint a megfelelő húzások szokásos felsorolásainak száma, ez azonban a legnagyobb f(M)-et adó M keresését nem érinti, mert minden M-re a kérdéses szám ugyanannyiszorosát (a 6-szorosát) tekintjük.
Tekintsük f értékének megváltozását, ha M helyére az 1-gyel kisebb számot írjuk:

f(M)-f(M-1)=f(M)-(M-2)(91-M)(90-M)(89-M)==(90-M)(89-M)[(M-1)(88-M)-(M-2)(91-M)]==(90-M)(89-M)(94-4M).
Az első két tényező minden szóba jövő esetben pozitív ‐ hiszen M lehetséges értékei 2, 87 és a közbeeső lottószámok ‐, a harmadik tényező M<94/4=23,5 esetén pozitív, M>23,5 esetén negatív. Tehát ha M≤23, akkor f(M-1)<f(M), ha pedig M≥24, akkor f(M-1)>f(M), vagyis f(M) értéke M=23-ig nő, utána csökken, legnagyobb értékét M=23 esetén kapjuk.
 

  Zöldy Béla (Budapest, I. István g. II. o. t.)
1Ha a ,,fölülről'' második lottószámra vizsgáljuk a kérdést, akkor a fenti értelmezés mellett adódó értéket 91-re kiegészítő szám adja a megoldást, hiszen ha egy húzás minden számát kivonjuk 91-ből, akkor újra lottóhúzást kapunk ‐ éspedig csökkenő rendben felsorolva ‐ ebben az eredeti húzás felülről második tagja helyébe lépő szám alulról a második lesz. Így a 91-23=68-as szám fordul elő leggyakrabban, mint fölülről második lottószám.