A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha létezik megfelelő , számpár, akkor az hányados is racionális szám. (Nem lehet , mert így (1) nem teljesülne, hiszen bal oldala csak 2 lehetne.) helyettesítéssel (1) így alakul: És innét azonnal látjuk, hogy és kivételével minden racionális szám megad egy megfelelő , számpárt: Pintz János (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
Megjegyzés. A fenti megoldásnál valamivel még egyszerűbb a következő. A bal oldal két tagja racionális szám és egymás reciproka (így egyik sem lehet 0). Pl. az elsőt -vel jelölve
Ha a 0-tól és 1-től különböző racionális szám, akkor (2) és (3) racionális -t és -t ad. (Az is látható, hogy megkaptuk az összes racionális megoldást.)
II. megoldás. A törteket eltávolítva és szerint rendezve (1) így alakul: számára csak olyan érték használható, amelyre a diszkrimináns négyzetgyöke racionális szám: | | azaz
ahol ugyancsak racionális szám. Egész számokban keresve megoldást, csak , , jön szóba. Azonban a (4)-gyel ellentmondásra vezet; esetén az egyetlen gyök, így az , , számpár megoldás, és máris kimondhatjuk, hogy a kérdésre a válasz igenlő. Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. Általában a racionális -t és -t , ill. alakban keresve, ahol , , egész számok, (5) a következőbe megy át: Eszerint minden pitagoraszi számhármas szolgáltat egy-egy racionális megoldást: | | ahol , egymástól és 0-tól különböző egész számok. Takács László
2. Egyetlen , számpárt azonban könnyebben kaptunk volna (4)-nek szerinti rendezéséből kiindulva: ugyanis ez az egyenlet esetén elsőfokúvá egyszerűsödik, és így megoldása racionális: . |