Kezdőlap


Feladat:	1537. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Pintz János , Takács László
Füzet:	1968/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 1537. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha létezik megfelelő $a$ , $b$ számpár, akkor az $a / b = r$ hányados is racionális szám. (Nem lehet $b = 0$ , mert így (1) nem teljesülne, hiszen bal oldala csak 2 lehetne.) $a = b r$ helyettesítéssel (1) így alakul:

\begin{matrix} \frac{r + 1}{r} + \frac{r}{r + 1} = b . \end{matrix}

És innét azonnal látjuk, hogy

r = 0

és

r = - 1

kivételével minden racionális szám megad egy megfelelő

b

a

számpárt:

\begin{matrix} b = \frac{r + 1}{r} + \frac{r}{r + 1}, a = r + 1 + \frac{r^{2}}{r + 1} . \end{matrix}

Pintz János (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A fenti megoldásnál valamivel még egyszerűbb a következő. A bal oldal két tagja racionális szám és egymás reciproka (így egyik sem lehet 0). Pl. az elsőt

r'

-vel jelölve

\begin{matrix} b = r' + \frac{1}{r'}, ahol \frac{a + b}{a} = r', így & (2) \\ a = \frac{1}{r' - 1} \cdot b = \frac{1}{r' - 1} (r' + \frac{1}{r'}), ha r' \neq 1. & (3) \end{matrix}

r'

a 0-tól és 1-től különböző racionális szám, akkor (2) és (3) racionális

b

-t és

a

-t ad. (Az is látható, hogy megkaptuk az összes racionális megoldást.)

II. megoldás. A törteket eltávolítva és

a

szerint rendezve (1) így alakul:

\begin{matrix} (2 - b) a^{2} + b (2 - b) a + b^{2} = 0. \end{matrix}

(4)

b

számára csak olyan érték használható, amelyre a diszkrimináns

r_{1}

négyzetgyöke racionális szám:

\begin{matrix} D = b^{2} {(2 - b)}^{2} - 4 (2 - b) b^{2} = b^{2} (b^{2} - 4) = r_{1}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} b^{2} - 4 = r_{2}^{2}, \\ b^{2} = r_{2}^{2} + 4, & (5) \end{matrix}

ahol

r_{2}

ugyancsak racionális szám.
Egész számokban keresve megoldást, csak

r_{2} = 0

b^{2} = 4

b = \pm 2

jön szóba. Azonban

b = 2

a (4)-gyel ellentmondásra vezet;

b = - 2

esetén

a = 1

az egyetlen gyök, így az

a

b = 1

- 2

számpár megoldás, és máris kimondhatjuk, hogy a kérdésre a válasz igenlő.
Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Általában a racionális

b

-t és

r_{2}

-t

B / N

, ill.

R / N

alakban keresve, ahol

B

R

N

egész számok, (5) a következőbe megy át:

\begin{matrix} R^{2} + {(2 N)}^{2} = B^{2} . \end{matrix}

Eszerint minden pitagoraszi számhármas szolgáltat egy-egy racionális megoldást:

\begin{matrix} b = \frac{u^{2} + v^{2}}{u v}, (r_{2} = \frac{u^{2} - v^{2}}{u v}), a = ... = \frac{u^{2} + v^{2}}{v (v - u)}, \end{matrix}

ahol

u

v

egymástól és 0-tól különböző egész számok.
Takács László

2. Egyetlen

a

b

számpárt azonban könnyebben kaptunk volna (4)-nek

b

szerinti rendezéséből kiindulva:

\begin{matrix} (1 - a) b^{2} + a (2 - a) b + 2 a^{2} = 0, \end{matrix}

ugyanis ez az egyenlet

a = 1

esetén elsőfokúvá egyszerűsödik, és így megoldása racionális:

b = - 2