|
Feladat: |
1533. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bajmóczy K. , Balogh J. , Bán Ilona , Berács J. , Dombi J. , Mérő L. , Moson Péter , Nagy Zs. , Perény G. , Radó P. , Sásdy B. , Somos E. , Tátray Péter , Tóth T. |
Füzet: |
1968/október,
52 - 55. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Parabola, mint mértani hely, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/április: 1533. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Az , szakaszokat először egyirányúaknak tekintjük. Az állandó érték mértani középarányosuknak -nek négyzete, . Feltesszük, hogy (ugyanis esetén , az pont állandóan -ben van, így az -nek tükörképe -re vonatkozóan, s ebből tüstént adódik, hogy mértani helye az adott kör 2-szeresre nagyított képe az hasonlósági középpontból). Eszerint mindig elválasztja -t -től és -től. Nyilvánvaló, hogy bármely helyzetében az -nek -val való, -től különböző metszéspontja. Minden helyzetben , , és az feltétel egyértelműen meghatározza és helyzetét. A derékszögű háromszög magasságáról ismert mértani középarányos tételre gondolva egy megfelelő , pontpárt úgy kapunk, hogy az -re -ben emelt merőlegesre fölmérjük az szakaszt, kört írunk körül sugárral, ennek az félegyenesen levő metszéspontja , -vel való másik metszéspontja (1. ábra).
1. ábra Így ugyanis Thalész tétele szerint derékszögű háromszög, és a derékszög csúcsa . Az alábbi számítás pedig azt mutatja, hogy ez az egyetlen megoldás. Legyen ugyanis és , ekkor , az követelményből , ennek gyökei valósak és ellentétes előjelűek, hiszen szorzatuk negatív, és a negatív gyök nem használható. Az adódó kifejezésből is kiolvasható fenti szerkesztése. -nek csak az az helyzete kivételes, amely érinti -t, ekkor ugyanis azonos -mel és a mondott eljárás szerint kapott , pontpárra az egyenlőség teljesül, és ezt a feladat kizárta. Az néhány helyzetében így szerkesztett , pontpárok egy körön látszanak sorakozni, melynek középpontja -nek -beli átellenes pontja, . (Az pontok mindig az körüli sugarú körön adódnak.) Bebizonyítjuk, hogy minden megengedett helyzetében , állandó. -ként az egyenest véve legyenek a fenti eljárás során kapott pontok , , , így | | (1) | ahol a átmérője. minden más, megengedett helyzetében az merőleges vetülete -n (Thalész), és folytán . Továbbá | | és itt az első zárójelben áll, a második zárójel pedig | | tehát, felhasználva (1)-et: | | ami állításunkat igazolja, és a mondott kör pontjai. Ugyanez -ra és -ra is áll, és miatt mindegyikük játszhatja a fenti szerepét. Pontosabban ezt találtuk: mivel elválasztja -t -től, vagyis -tól, azért is elválasztja -t -tól, a -nak félkörnél kisebb ívén van, pedig a félkörnél nagyobb ívén. Bebizonyítjuk, hogy megfordítva, ha -nek egy tetszés szerinti (de -tól különböző) helyzete -t -ben, -t -ben metszi, akkor teljesül , és az szakasz felezőpontja rajta van -n. Valóban, és a -nak -en átmenő és egymástól különböző szelői, ezért . Továbbá derékszög, tehát rajta van az átmérőjű Thalész körön, vagyis -n. Ezek szerint az -t és -t szétválasztó pont esetére és mértani helye a fent leírt körnek ill. íve, az ívek , végpontjai nem tartoznak hozzá a mértani helyhez.
II. -t és -t egyirányúaknak véve a pontok sorrendje , , , . Legyen ismét , és , így és , továbbá . A követelmény: innen (2. ábra).
2. ábra Eszerint az -ből az körüli sugarú körhöz húzott érintőszakasszal mint sugárral rajzolt kör metszi ki -ből és között -t és -en túl -t. -nek több helyzete alapján az és pontokból ismét egy körnek két íve rajzolódik ki, középpontja a fenti , átmérője az helyzetben adódó szakasz. -t az helyzettől egyre jobban elfordítva csökken, és ha -ként és metszéspontját választjuk, vagyis ha , akkor is, is ban adódik, amit a követelmény kizárt. További elfordítás esetén (az -ra merőleges helyzetig) nincs , pontpár, mert . Valóban, esetén és , általában pedig és miatt , így | | Pontosabban: a kör kisebb ívének belső pontja ‐ ahol a tükörképe -ra ‐, pedig a nagyobb ív belső pontja ( érinti -et). Az I. eset befejezéséhez hasonlóan belátható, hogy a mondott ívek minden belső pontja kiadódik -ként, ill. -ként, tehát és mértani helye a mondott két ív, a végpontok nélkül. Ha , azaz magába zárja az adott kört, akkor egyetlen , pontpár sem jön létre. Tátray Péter (Budapest, Berzsenyi D. Gimnázium) Moson Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimnázium)
Megjegyzés. Az érdeklődőknek ajánljuk, keressék meg a kapcsolatot ezen feladat és az 1056. gyakorlat között.
K. M. L. 34 (1967) 70. o. |
|