Kezdőlap


Feladat:	1532. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gádoros Gabriella , Gulyás Imre , Takács Cecília , Váli László
Füzet:	1967/december, 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 1532. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a hozzáadott szám $x$ , ekkor a számtani sorozat három egymás utáni tagjának ismert tulajdonsága szerint

\begin{matrix} \sqrt[]{5 + x} + \sqrt[]{10 + x} = 2 \sqrt[]{7 + x} . \end{matrix}

Négyzetre emeléssel és átrendezéssel

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{(5 + x) (10 + x)} = (28 + 4 x) - (15 + 2 x) = 13 + 2 x . \end{matrix}

Újabb négyzetre emeléssel

x = - 31 / 8

, más szám nem elégítheti ki a követelményt. Ez valóban kielégíti, ha a sorozat mindhárom tagját pozitívnak vesszük:

\begin{matrix} \frac{3}{2 \sqrt[]{2}}, \frac{5}{2 \sqrt[]{2}}, \frac{7}{2 \sqrt[]{2}}, \end{matrix}

és akkor is, ha mindhármat negatívnak. Az első esetben

1 / \sqrt[]{2}

a sorozat különbsége, a második esetben

- 1 / \sqrt[]{2}

Gulyás Imre (Budapest, Piarista g. II. o. t.)
Takács Cecilia (Veszprém, Lovassy L. g. III. o. t.)

II. megoldás. Legyen a sorozat középső tagja

a

, különbsége

d

, a hozzáadott szám ismét

x

; ezekre fennáll

\begin{matrix} 5 + x = {(a - d)}^{2}, 7 + x = a^{2}, 10 + x = {(a + d)}^{2} . \end{matrix}

Az első és a harmadik egyenlet összegéből a második

2

-szeresét kivonva

\begin{matrix} 1 = 2 d^{2}, d = \pm 1 / \sqrt[]{2} = \pm \sqrt[]{0,5} . \end{matrix}

A másodikból az elsőt kivonva

\begin{matrix} 2 = 2 a d - d^{2}, a = \frac{2 + d^{2}}{2 d} = \frac{5}{4 d} = \pm \frac{5}{2 \sqrt[]{2}} = \pm \sqrt[]{3,125} . \end{matrix}

Végül a második egyenletből

\begin{matrix} x = a^{2} - 7 = - \frac{31}{8} . \end{matrix}

Eszerint két sorozat teljesíti a feltételeket, a

\sqrt[]{0, 5}

különbségű sorozat középső tagja

\sqrt[]{3, 125}

, a

- \sqrt[]{0, 5}

különbségűé

- \sqrt[]{3, 125}

, de a hozzáadott tag mindkét esetben

- 31 / 8

Gádoros Gabriella (Tatabánya, Árpád g. III. o. t.)
Váli László (Budapest, I. István g. I. o. t.)