|
Feladat: |
1531. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Andor Cs. , Bajmóczy E. , Balogh J. , Bán Ilona , Barabits A. , Barcza Gyöngyi , Berács J. , Bihari Katalin , Bodor I. , Bulkai T. , Dombi J. , Fazekas B. , Fiala T. , Fuggerth E. , Futó Ilona , Gegesy F. , Grandpierre A. , Horváth Sándor , Hunyadvári L. , Joó I. , Juhász Ágnes , Kas P. , Kecskeméty K. , Kele A. , Kocsis Judit , Kóczy L. , Koren A. , Kövesi G. , Lempert L. , Losonci Z. , Lublóy L. , Martoni V. , Máthé Marianne , Mérő L. , Moson P. , Nagy László , Nagy Zsigmond , Németh T. , Pataki Judit , Perémy G. , Printz J. , Radó P. , Somorjai G. , Somos E. , Szabados Katalin , Szabó Klára , Takács L. , Tátray P. , Váli L. , Vetier A. |
Füzet: |
1968/február,
58 - 60. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/április: 1531. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az , és , számjegy-párok ismétlődése alapján a keresett szám így írható: | | Mivel törzsszám, és négyzetszámnak különböző alapú törzsszámhatványok szorzatára való felbontásában minden kitevő páros, azért a szám egy négyzetszám -szerese. Továbbá , így | | (azaz ), tehát is (pozitív egész) többszöröse -nek. Ámde és miatt , és -nek már a -szerese is több -nál, ezért
Ismét miatt legalább háromjegyű, legföljebb négyjegyű négyzetszám, vagyis egy valódi kétjegyű szám négyzete. (2) bal oldalának egyik tényezője osztható -gyel. Úgyszintén egyik tényező osztható -cel, mert nem lehet mindkét tényező -mal osztható, ugyanis különbségük 2. Próbálkozzunk olyan megoldással, melyben (2) bal oldalának ugyanazon tényezője osztható -cel is, -gyel is, vagyis -cel is. Ez miatt csak lehet, ha , ekkor , továbbá (1) alapján . Így , , , , különbözők, megoldást kaptunk. (Valóban, így , és , ami már a fentiekből szükségképpen következik.) Olyan megoldást keresve, melyben (2) bal oldalának egyik tényezője -gyel, a másik -cel osztható, elég a számok -cel való oszthatóságát vizsgálnunk, hiszen a tényezők különbsége . Csak és esete ilyen: és , ill. és , de az elsőből , adódik, ami nem felel meg; a másodikból viszont , , és ez ismét megoldás: , , , (, ). Több megoldás nincs. Horváth Sándor (Budapest, I. István g. III. o. t.) Megjegyzések. 1. Hasonlóan jutunk el a megoldásokhoz (1)-ből kiküszöbölése útján is: , . 2. Ugyanez az egyenlet így is írható: , ami szerint -et két kétjegyű számra vágva e részek öszszege . Végigfutva a kétjegyű számok négyzetén, csak -nek és -nek van meg ez a tulajdonsága, vagy . Kevesebb próba is elég annak figyelembevételével, hogy kétjegyű négyzetvégződés, így csak különböző értéket vehet fel. Képezve ezekhez -t ‐ pl. esetében -et ‐ csak azt kell megnéznünk a táblázatban, négyzetszám-e . Nagy Zsigmond (Budapest, Kaffka M. g. III. o. t.) 3. -nek az előző megjegyzés szerinti kettévágását így is kimondhatjuk: -nek a száz-alapú számrendszerben vett két számjegye együtt százat kell hogy adjon. A száz-alapú számrendszerben ugyanaz az oszthatósági ismertetőjel érvényes a ,,százegy''-gyel való oszthatóságra, mint a tíz-alapú rendszerben a tizenegyre. (Az utóbbi szerint a szám akkor és csak akkor osztható -gyel, ha jobbról bal felé haladva minden második jegy elé mínuszjelet gondolva, az összes jegyek -gyel osztható összeget adnak. Ezt alkalmazva a fenti számra, kapjuk (1)-et. |
|