Feladat: 1531. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andor Cs. ,  Bajmóczy E. ,  Balogh J. ,  Bán Ilona ,  Barabits A. ,  Barcza Gyöngyi ,  Berács J. ,  Bihari Katalin ,  Bodor I. ,  Bulkai T. ,  Dombi J. ,  Fazekas B. ,  Fiala T. ,  Fuggerth E. ,  Futó Ilona ,  Gegesy F. ,  Grandpierre A. ,  Horváth Sándor ,  Hunyadvári L. ,  Joó I. ,  Juhász Ágnes ,  Kas P. ,  Kecskeméty K. ,  Kele A. ,  Kocsis Judit ,  Kóczy L. ,  Koren A. ,  Kövesi G. ,  Lempert L. ,  Losonci Z. ,  Lublóy L. ,  Martoni V. ,  Máthé Marianne ,  Mérő L. ,  Moson P. ,  Nagy László ,  Nagy Zsigmond ,  Németh T. ,  Pataki Judit ,  Perémy G. ,  Printz J. ,  Radó P. ,  Somorjai G. ,  Somos E. ,  Szabados Katalin ,  Szabó Klára ,  Takács L. ,  Tátray P. ,  Váli L. ,  Vetier A. 
Füzet: 1968/február, 58 - 60. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/április: 1531. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A, B és C, D számjegy-párok ismétlődése alapján a keresett N2 szám így írható:

101⋅AB¯⋅104+101⋅CD¯=101(AB¯⋅104+CD¯)=101K.
Mivel 101 törzsszám, és négyzetszámnak különböző alapú törzsszámhatványok szorzatára való felbontásában minden kitevő páros, azért a K szám egy négyzetszám 101-szerese. Továbbá 104=(104-1)+1=101⋅99+1, így
K=101⋅99⋅AB¯+(AB¯+CD¯)=101⋅M2,
(azaz M=N/101), tehát AB¯+CD¯ is (pozitív egész) többszöröse 101-nek. Ámde 1≤AB¯<100 és 1≤CD¯<100 miatt 2≤AB¯+CD¯<200, és 101-nek már a 2-szerese is több 200-nál, ezért
AB¯+CD¯=101,ígyM2=99⋅AB¯+1,(1)(M-1)(M+1)=32⋅11⋅AB¯.(2)


Ismét 1≤AB¯<100 miatt M2 legalább háromjegyű, legföljebb négyjegyű négyzetszám, vagyis egy valódi kétjegyű szám négyzete.
(2) bal oldalának egyik tényezője osztható 11-gyel. Úgyszintén egyik tényező osztható 9-cel, mert nem lehet mindkét tényező 3-mal osztható, ugyanis különbségük 2.
Próbálkozzunk olyan megoldással, melyben (2) bal oldalának ugyanazon tényezője osztható 9-cel is, 11-gyel is, vagyis 99-cel is. Ez M<100 miatt csak M+1 lehet, ha M=98, ekkor M-1=97=AB, továbbá (1) alapján CD=4=04. Így A=9, B=7, C=0, D=4, különbözők, megoldást kaptunk. (Valóban, így N=101⋅M=9898, és N2=97970404, ami már a fentiekből szükségképpen következik.)
Olyan megoldást keresve, melyben (2) bal oldalának egyik tényezője 11-gyel, a másik 9-cel osztható, elég a 11k±2 számok 9-cel való oszthatóságát vizsgálnunk, hiszen a tényezők különbsége 2. Csak k=1 és k=8 esete ilyen: 9 és 11, ill. 88 és 90, de az elsőből AB=1=01, CD¯=100 adódik, ami nem felel meg; a másodikból viszont AB=(88⋅90)/99=80, CD¯=21, és ez ismét megoldás: A=8, B=0, C=2, D=1 (M=89, N2=89892=80802121). Több megoldás nincs.
 

 Horváth Sándor (Budapest, I. István g. III. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Hasonlóan jutunk el a megoldásokhoz (1)-ből AB¯ kiküszöbölése útján is: M2=99 (101-CD¯)+1=1002-99⋅CD, (100-M)(100+M)=32⋅11⋅CD¯.
2. Ugyanez az egyenlet így is írható: M2=1002-(100-1)⋅CD¯=(100-CD¯)⋅ ⋅100+CD¯, ami szerint M2-et két kétjegyű számra vágva e részek öszszege 100. Végigfutva a kétjegyű számok négyzetén, csak 892=7921-nek és 982=9604-nek van meg ez a tulajdonsága, CD¯=21 vagy 04.
Kevesebb próba is elég annak figyelembevételével, hogy CD¯ kétjegyű négyzetvégződés, így csak 22 különböző értéket vehet fel. Képezve ezekhez 100-CD¯-t ‐ pl. CD¯=56 esetében 44-et ‐ csak azt kell megnéznünk a táblázatban, négyzetszám-e 4456.
 

 Nagy Zsigmond (Budapest, Kaffka M. g. III. o. t.)
 

3. M2-nek az előző megjegyzés szerinti kettévágását így is kimondhatjuk: M2-nek a száz-alapú számrendszerben vett két számjegye együtt százat kell hogy adjon.
A száz-alapú számrendszerben ugyanaz az oszthatósági ismertetőjel érvényes a ,,százegy''-gyel való oszthatóságra, mint a tíz-alapú rendszerben a tizenegyre. (Az utóbbi szerint a szám akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha jobbról bal felé haladva minden második jegy elé mínuszjelet gondolva, az összes jegyek 11-gyel osztható összeget adnak. Ezt alkalmazva a fenti K=AB00CD¯ számra, kapjuk (1)-et.