Kezdőlap


Feladat:	1530. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh J. , Barbarits A. , Barcza Gyöngyi , Berács J. , Bodor I. , Bulkai T. , Csörgő Piroska , Gallatz I. , Gegesy F. , Grandpierre A. , Hegedűs A. , Horváth S. , Kóczy L. , Kövesi G. , Mészáros J. , Moson Péter , Munk S. , Nagy Zs. , Orbán G. , Perémy G. , Printz J. , Rácz É. , Takács László , Váli L. , Zöldy B.
Füzet:	1968/május, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Szakaszos tizedestörtek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 1530. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n / 73$ tizedes tört alakját előállító osztás nem fejeződhet be, semelyik részletosztás után nem lehet $0$ a maradék, mert az első lépésben $n$ után, a továbbiakban az előző maradék után írunk annyi (egy vagy két) $0$ -t, hogy $73$ -nál nagyobb (de 730-nál kisebb) részletosztandót kapjunk; ebből levonva $73$ és egy egyjegyű szám szorzatát, nem $0$ -ra végződő számot vonunk le, s így újra $0$ -tól különböző a maradék.
Legyenek a hányados egymás utáni számjegyei $j_{1}, j_{2}, ...$ , a megállapításuk utáni maradék $r_{2}, r_{3}, ...$ , szokás szerint a helyi érték feltüntetése nélkül, vagyis minden $r_{s}$ egész szám, és $0 < r_{s} < 73$ .
Tegyük fel, hogy valamely $n$ számláló esetén fellép egymás után két egyenlő tizedesjegy a hányadosban: $j_{s} = j_{s + 1} = j$ . Ekkor a $10 r_{s} : 73$ és $10 r_{s + 1} : 73$ részletosztásokból

\begin{matrix} 10 r_{s} & = 73_{j} + r_{s + 1}, \\ 10 r_{s + 1} & = 73_{j} + r_{s + 2}, \end{matrix}

az első egyenlet

10

-szereséhez hozzáadva a másodikat

\begin{matrix} 100 r_{s} & = 803_{j} + r_{s + 2}, \\ 100 (r_{s} - 8 j) & = 3 j + r_{s + 2} . \end{matrix}

Ez azonban lehetetlen, mert

\begin{matrix} 0 < r_{s + 2} + 3 j < 73 + 3 \cdot 9 = 100. \end{matrix}

b) Az

m / 97

tört esetében ugyanezen jelölésekkel és feltevéssel

\begin{matrix} 10 r_{s} = 97 j + r_{s + 1}, 10 r_{s + 1} = 97 j + r_{s + 2}, \\ 100 r_{s} = 1067 j + r_{s + 2}, \\ 67 j + r_{s + 2} = 100 (r_{s} - 10 j) . & (1) \end{matrix}

67

-es szám szóba jövő többszöröseinek kétjegyű végződései (

j = 0,1, ...,9

esetén) rendre:

00

67

34

01

68

35

02

69

36

03

, a kövér számjegyekkel szedett végződésű többszörösök a legnagyobb lehetséges

r_{s + 2} = 96

értékkel együtt sem érik el

100

-nak legközelebbi többszörösét. Eszerint a bennük felhasznált

j = 0

3

6

és

9

számjegy nem léphet fel kétszer egymás után

m / 97

szakaszos tizedes tört alakjában. A további hat számjegy viszont felléphet, hozzájuk (1) alapján rendre egy-egy megfelelő

m

értéket ad a következő számítás,

s

értékét mindig

1

-nek véve:

\begin{matrix} j_{s} = j_{1} = j_{2} = 1 & 2 & 4 & 5 & 7 & 8, \\ r_{s + 2} = r_{3} = 33 & 66 & 32 & 65 & 31 & 64, \\ r_{1} = m = 11 & 22 & 43 & 54 & 75 & 86. \end{matrix}

Takács László (Sopron, Széchenyi I. Gimn.)

Megjegyzések. 1. A feladat a) részében elég lett volna belátni, hogy

j_{1} \neq j_{2}

, hiszen bármely

r_{s}

maradékra teljesül az

n

-re vonatkozó feltevés.
Moson Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)

2. Az iskolai függvénytáblázat¹ idevágó táblázata szerint

1 / 97

szakasza

96

jegyű, vagyis csak akkor kezdődik új szakasz, ha az

1,2, ...,96

maradékoknak már mindegyike fellépett. Eszerint

m

minden szóba jövő értéke esetén fellép a szakaszban valahol egymás után két-két

1

-es,

2

-es,

4

-es,

5

-ös,

7

-es és

8

-as számjegy.

¹Lóky Béla ‐ Pávó Imre: Négyjegyű függvénytáblázatok, 19. Kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1961. 28. o.