Kezdőlap


Feladat:	1526. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bulkai T. , Cseh J. , Farkas F. , Katona V. , Kecskeméty K. , Kopiás A. , Losonci Z. , Lublóy L. , Mészáros J. , Mitrocsák Anikó , Nagy Zs. , Orbán G. , Pap Márta , Péli Katalin , Perémy G. , Rácz Éva , Sergyán Stefánia , Somos E. , Takács L. , Tóth F. , Turchányi Piroska , Vass Erzsébet , Vetier A. , Zambó Péter , Závoti J. , Zsolt G.
Füzet:	1968/február, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Térelemek és részeik, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 1526. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a hegycsúcs $H$ , vetülete az $A B C$ vízszintes síkon $T$ . Ekkor a $H A T$ és $H C T$ derékszögű háromszögből $T A = H T ctg 20^{\circ}$ , ill. $T C = H T ctg 22^{\circ}$ , így az $A B C T$ négyszögből ismerjük az $A B$ , $B C$ oldalakat, a $B$ -nél és $A$ -nál levő szögeket ‐ utóbbi a megmért $93^{\circ}$ -os szög mellékszöge, vagyis $87^{\circ}$ ‐, végül a $T$ -ben összefutó oldalak arányát: $T A : T C = ctg 20^{\circ} : ctg 22^{\circ}$ .

A B C

részháromszögből a koszinusz-, majd a színusz-tétel alapján

A C = 227, 6 m

B A C ∢ = 30, 34^{\circ}

, így

C A T ∢ = 56, 66^{\circ}

(a részeredményekből a táblázat által megengedett 4‐4 értékes jegyet írtuk ki, mert az adatokat pontosaknak tekintettük).
Így az

A C T

háromszögben az ismert arányú oldalak közül a kisebb

T C

-vel szemben lévő szöget ismerjük, hiszen

ctg 22^{\circ} < ctg 20^{\circ}

. Ezért, az arány alapján a színusz-tétel felhasználásával az

A C T ∢

színuszát kiszámítva ‐ amennyiben ez

1

-nél kisebbnek adódik ‐ a szög hegyesszög is lehet és, tompaszög is. Mivel

\begin{matrix} sin A C T ∢ = sin C A T ∢ \cdot \frac{ctg 20^{\circ}}{ctg 22^{\circ}} = 0, 9272 < 1, \end{matrix}

azért az

A C T ∢

egyik lehetséges értéke

A C T_{1} ∢ = 68^{\circ}

, a másik

A C T_{2} ∢ = 112^{\circ}

.
Az elsőből továbbmenve

A T_{1} C ∢ = 55, 34^{\circ}

, a színusz-tétel alapján

C T_{1} = 231, 2

m és

T_{1} H_{1} = 93, 4

m, a másodikból pedig hasonlóan

A T_{2} C ∢ = 11, 34^{\circ}

C T_{2} = 967, 4

m, és

T_{2} H_{2} = 390, 9

m.
Eszerint a hegy magasságára alternatív eredményt kaptunk: vagy

93, 4

m, vagy

390, 9

m az észlelési pontok síkja fölött.

Mitrocsák Anikó (Makó, József A.g. III. o. t.)

Megjegyzés. Több dolgozat a

B A T

szöget vette

93^{\circ}

-nak. Így is két eredmény adódik:

136

m és

268