Kezdőlap


Feladat:	1522. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy E. , Bodor István , Draschitz R. , Horváth S. , Hunyadvári László , Kecskeméty Károly , Moson Péter , Perémy Gábor , Pintz János , Somogyi Á. , Takács L. , Zöldy B.
Füzet:	1967/november, 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Numerikus és grafikus módszerek, Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 1522. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az adott kifejezés polinom-alakja $9$ -edfokú, állandó tagja nincs, mert $x = 0$ helyettesítéssel értéke $0$ . A követelmény teljesüléséhez $x$ , $x^{2}$ és $x^{3}$ együtthatójának $0$ -nak kell lennie, azaz

\begin{matrix} 3 A - 1 = 0, 3 A^{2} + 3 B = 0, A^{3} + 6 A B + 3 C = 0. \end{matrix}

Az első egyenletből

A = 1 / 3

, ezt a másodikba helyettesítve

B = - A^{2} = - 1 / 9

, és mindkettőt a harmadikba beírva

C = 5 / 81

. Viszont

x^{4}

fellép, együtthatója

10 / 81

. Ekkor az (1) polinom

\begin{matrix} D (x) = \frac{10}{81} x^{4} - \frac{2}{243} x^{5} - \frac{8}{2187} x^{6} + \frac{40}{6561} x^{7} - \frac{25}{19 683} x^{8} + \frac{125}{531 441} x^{9} . \end{matrix}

II.

D (x)

-ben az együtthatók abszolút értékének összege

75 968 / 531 441 < 76 / 531

, így, ha pl.

| x | < 1 / 2

, akkor

| D (x) |

-re felső becslést kapunk, minden tagot az abszolút értékével helyettesítve, majd

| x |

fellépő hatványai helyébe a náluk nagyobb

{(1 / 2)}^{4}

-t írva. Eszerint, ha

| x | < 1 / 2

, akkor

\begin{matrix} | D (x) | < \frac{76}{531 \cdot 2^{4}} < \frac{5}{531} < \frac{1}{100} . \end{matrix}

Így kis abszolút értékű

x

-ekre várhatóan jól használható a következő közelítő egyenlőség:

\begin{matrix} \sqrt[3]{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} x^{2} + \frac{5}{81} x^{3} . \end{matrix}

(2)

Kecskeméty Károly (Budapest, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. (2) bal oldalát

A

-val, jobb oldalát

B

-vel jelölve

\begin{matrix} B^{3} - A^{3} = δ (x), ahol | δ (x) | < \frac{x^{4}}{4}, \end{matrix}

így ha

| x | < 1 / 2,

akkor

B > 0,

A > 1 / 2

és

\begin{matrix} | A - B | = \frac{| A^{3} - B^{3} |}{A^{2} + A B + B^{2}} < \frac{| δ (x) |}{A^{2}} < 4 | δ (x) | < x^{4} . \end{matrix}

x = 0, 3

- 0, 3

0, 9

és

- 0, 9

esetén (2) az

1, 3

0, 7

1, 9

0, 1

szám köbgyökére rendre az

\begin{matrix} 1, 0917, 0, 8883, 1, 255, 0, 565 \end{matrix}

közelítő értéket adja, a táblázatból vett

\begin{matrix} 1, 092, 0, 8879, 1, 238, 0, 465 \end{matrix}

értékkel szemben. Az utóbbi két példa (kívül az

| x | < 1 / 2

intervallumon) már nagyobb eltérést mutat.

Hunyadvári László (Budapest, Könyves Kálmán g. IV. o. t.)