Kezdőlap


Feladat:	1521. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Andor Csaba , Rácz Éva
Füzet:	1967/december, 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 1521. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen röviden $x + y + z = u$ , és írjuk át az egyenleteket a következő alakba:

\begin{matrix} x y u + x z u = 1170, \\ x y u + y z u = 1008, \\ x z u + y z u = 1458. \end{matrix}

Ez az

x y u

x z u

y z u

ismeretlenekre vonatkozóan elsőfokú egyenletrendszer; a három ismeretlen összege

(1170 + 1008 + 1458) / 2 = 1818

, így

\begin{matrix} y z u = 1818 - 1170 = 648, x y u = 360, x z u = 810. \end{matrix}

(2)

Az eredeti egyenletek szerint az itt fellépő tényezők egyike sem

0

, ezért az első szorzatot az utóbbi kettővel osztva megkapjuk az eredeti ismeretlenek párjainak arányát:

\begin{matrix} \frac{z}{x} = \frac{648}{360} = \frac{9}{5}, \frac{y}{x} = \frac{4}{5}, z = \frac{9 x}{5}, y = \frac{4 x}{5} . \end{matrix}

Végül ezeket a kifejezéseket pl. az első egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} x \cdot \frac{13 x}{5} \cdot \frac{18 x}{5} = 1170, x^{3} = 125, \end{matrix}

ennek egyetlen valós megoldása

x = 5

, és ebből

y = 4

z = 9

.
Mindig ekvivalens egyenletre tértünk át, ezért a megoldás kielégíti (1)-et.

Andor Csaba (Budapest, Berzsenyi D. g. III. o. t.)
Rácz Éva (Makó, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A jobb oldali állandókat rendre

a

b

c

-vel és összegüket

2 s

-sel jelölve hasonlóan

\begin{matrix} x y u = s - c, x z u = s - b, y z u = s - a, \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{s - a}{s - b} \cdot x, z = \frac{s - a}{s - c} \cdot x, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{{(s - a)}^{2}}{(s - b) (s - c)} (\frac{1}{s - a} + \frac{1}{s - b} + \frac{1}{s - c}) x^{3} = 1, \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{1}{s - a} \sqrt[3]{\frac{{(s - a)}^{2} {(s - b)}^{2} {(s - c)}^{2}}{a b + a c + b c - s^{2}}}, \end{matrix}

hacsak

a

b

c

egyike sem egyenlő a másik kettő összegével.