|
Feladat: |
1519. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh J. , Borzsák P. , Csörgei J. , Csörgő Piroska , Draschitz R. , Fuggerth E. , Halász F. , Halek T. , Hunyadvári L. , Katona V. , Koren A. , Lakatos L. , Lempert L. , Martoni V. , Nagy Zs. , Pap Márta , Papp E. , Péceli G. , Perámy G. , Pintz J. , Takács L. , Tátray P. , Tóth Ferenc , Zambó Péter |
Füzet: |
1967/október,
62 - 63. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Négyszög alapú gúlák, Derékszögű háromszögek geometriája, Deltoidok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/február: 1519. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ahhoz, hogy a gúla köré gömböt lehessen írni, alapdeltoidjának húrnégyszögnek kell lennie. Ha ez teljesül, akkor lehet is gömböt írni a gúla köré. Jelöljük ugyanis a deltoid köré írt kört -val; középpontját -val, a gúlának a deltoid fölötti csúcsát -mel; ekkor a egyenesen átmenő, és az alap síkjára merőleges sík -ból egy átmérőt metsz ki, és az háromszög köré írt kör középpontja rajta van a -ban -re állított merőlegesen. Így pedig minden pontja ugyanannyira van -tól, mint pl. , és ugyanennyire van is -tól, tehát az körüli M sugarú gömb átmegy a gúla mindegyik csúcsán.
Az alapdeltoid , részekre osztott átlója szimmetriatengely, mert a másik ‐ rá merőleges ‐ átlót két egyenlő részre osztja. Ez az átló a deltoidot két derékszögű háromszögre bontja, mert a háromszögnek az átlót , részekre bontó magassága hosszúságú, ez pedig az ismert mértani középarányossági tétel szerint a derékszögű háromszögre teljesül, és más háromszögre nem. Így a deltoid húrdeltoid. Legyen az alapidom átlóinak metszéspontja , vetülete az egyenesen , és (ha az alatt van, akkor ). Így az derékszögű háromszögben , , az háromszögben pedig , ennélfogva | | amiből egyrészt kivonással másrészt visszahelyettesítéssel | | végül . első kifejezése szerint , vagyis az alapsík fölött, rajta, ill. alatta adódik aszerint, hogy .
Pap Márta (Budapest, Kölcsey F. g. III. o. t.) |
|