Feladat: 1518. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Élthes Eszter 
Füzet: 1967/szeptember, 20 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/február: 1518. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen BAC∢=α, CAD∢=β. Válasszuk a betűzést úgy, hogy α≤β legyen. B és D az AC átmérő fölötti Thalész-kör pontjai, és a tükrözés miatt B' is a körön van. Legyen még a k-ban a B-vel és B'-vel átellenes pont B1, ill. B'1, így BB1=B'B'1=AC=1, és a BDB1 derékszögű háromszögben DB1B∢=DAB∢=α+β, vagy =DCB∢=180∘-(α+β) aszerint, hogy B1 a két BD ív közül az A-t vagy a C-t tartalmazó íven van, ‐ amennyiben a négyszög konvex. Így mindenesetre BD=sin(α+β). (Ha B1 éppen a D-be esik, akkor BD=1, átmérő.)

 
 

Továbbá a B'B'1D derékszögű háromszögben
B'B'1D∢=B'AD∢=DAC∢-B'AC∢=β-BAC∢=β-α,
és így B'D=sin(β-α), amennyiben pedig B és D egymás tükörképei, akkor B'=D és B'D=0.
Ha ABCD hurkolt négyszög, vagyis AB, AD az AC átló ugyanazon oldalán vannak, akkor BAD∢=β-α, és hasonlóan BD=sin(β-α) és B'D=sin(α+β).
 
 Élthes Eszter (Budapest, I. István g., III. o. t.)