Kezdőlap


Feladat:	1516. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas György , Koren András
Füzet:	1968/január, 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1516. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két szereplő értéket úgy értjük, hogy $cos x$ -et, ill. $sin x$ -et egy‐egy szög ívmértékben adott mértékszámának tekintjük, és ennek vesszük szinuszát, ill. koszinuszát.
Mindkét szögfüggvény‐értéket össze tudjuk hasonlítani $cos x$ -szel. Egyrészt minden pozitív $u$ szögre

\begin{matrix} sin u < u, így & (1) \\ sin cos x < cos x . & (2) \end{matrix}

Másrészt, ha

0 ≦ v ≦ π

, akkor

v

növekedésével

cos v

fogy. Mivel

(0 <) sin x < 1

, ha

x

hegyesszög, ezért (1)-ből, ha azt

u = x

-re tekintjük

\begin{matrix} cos sin x > cos x . \end{matrix}

(3)

(2)-ből és (3)-ból következik a bizonyítandó egyenlőtlenség.
Farkas György (Budapest, Landler J. Hir. Ip. T., II. o. t.)
Koren András (Budapest, I. István g. III. o. t.)

1. ábra

2. ábra

Megjegyzések. 1. Az 1. ábra a szóban forgó számokat ábrázoló íveket, szakaszokat mutatja be az egységkörben, a 2. ábra pedig a két függvény grafikonját.
2. Meg lehet mutatni, hogy az állítás minden

x

-re érvényes.