Kezdőlap


Feladat:	1515. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh J. , Bán Ilona , Barbarits A. , Bodor I. , Borzsák P. , Csetényi A. , Csörgei J. , Dombi J. , Dőry A. , Draschitz R. , Farkas I. , Fiala Tibor , Fuggerth E. , Gegesy F. , Gyarmati Erzsébet , Hegedűs A. , Hunyadvári L. , Jobbágy T. , Káplár L. , Lempert L. , Martoni V. , Moson P. , Nagy László , Németh T. , Orbán G. , Péli Katalin , Perémy G. , Printz J. , Rácz Éva , Sarkadi M. , Somogyi Á. , Somorjai G. , Szabados Katalin , Szabó Klára , Sztrapkovics L. , Takács L. , Turi A. , Törő Judit , Váli L. , Varga Gabriella , Varsányi Anikó , Vass Erzsébet
Füzet:	1968/február, 53 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1515. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az $u$ , $v$ ismeretlen-párra nézve az egyenletrendszer elsőfokú, először ezeket fejezzük ki a $p$ , $q$ paraméter-párral. Feltesszük, hogy

\begin{matrix} p \neq 0, q \neq 0, p - q \neq 0 és p + q \neq 0, \end{matrix}

(3)

azaz

| p | \neq | q |

, különben (2)-nek nincs értelme.
Osszuk (1)-et

p + q

-val, szorozzuk (2)-t

p

-vel, adjuk össze a kapott egyenleteket, majd képezzük a bal és jobb oldal különbségét:

\begin{matrix} v (\frac{q}{p + q} + \frac{p}{p - q}) = 2 (p - q) + \frac{p^{2} + q^{2}}{q}, \\ \frac{v (p^{2} + 2 p q - q^{2})}{p^{2} - q^{2}} = \frac{p^{2} + 2 p q - q^{2}}{q}, & (4) \\ (\frac{v}{p^{2} - q^{2}} - \frac{1}{q}) (p^{2} - 2 p q - q^{2}) = 0. & (5) \end{matrix}

Ez az egyenlet ‐ pl. az (1)-gyel összekapcsolva ‐ az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert alkot.
Ha mármost

\begin{matrix} p^{2} + 2 p q - q^{2} \neq 0, \end{matrix}

(6)

akkor (5)-ből

\begin{matrix} v = \frac{p^{2} - q^{2}}{q}, \end{matrix}

(7)

folytatólag (1)-ből

\begin{matrix} u = \frac{p^{2} - q^{2}}{p} \end{matrix}

(8)

és (8), (7) a rendszer egyetlen megoldása.
Ha viszont a paraméterekre teljesül

\begin{matrix} p^{2} + 2 p q - q^{2} = 0, \end{matrix}

(9)

akkor (2) következménye az (1)-nek, hiszen (4) mindkét oldala

0

, ezért minden az (1)-et kielégítő

u

v

értékpárra (2) is teljesül, végtelen sok megoldás van. Tetszés szerinti

v

-t választva a megoldás:

\begin{matrix} u = \frac{1}{p} [2 (p^{2} - q^{2}) - q v], v . \end{matrix}

(10)

(9) akkor teljesül, ha a paraméterek aránya

\begin{matrix} q / p = 1 + \sqrt[]{2}, vagy ha q / p = 1 - \sqrt[]{2}, \end{matrix}

(11)

ilyen esetben (3) is teljesül.

II.

p

-t és

q

-t tekintve ismeretleneknek, ismét föltesszük (3)-at, vagyis kizárunk minden olyan

u

v

paraméter-párt, amely a (3)-at nem teljesítő

p

q

értékpárra vezet. Az (1), (5) rendszer a (3) feltétel mellett a

p

q

ismeretlenekre is ekvivalens az (1), (2) rendszerrel. (5) teljesül, ha (7) és (9) közül legalább az egyik teljesül. (7)-ből és (1)-ből kaptuk (8)-at, ezek szerint

\begin{matrix} p^{2} - q^{2} = v q = u p, ezért q = \frac{u}{v} \cdot p, \end{matrix}

ezt beírva (8)-ba, majd onnét

p

kifejezését ide visszahelyettesítve

\begin{matrix} u = p - \frac{q^{2}}{p} = p (1 - \frac{u^{2}}{v^{2}}) = p \frac{v^{2} - u^{2}}{v^{2}}, \\ p = \frac{u v^{2}}{v^{2} - u^{2}}, q = \frac{u^{2} v}{v^{2} - u^{2}} . & (12) \end{matrix}

Ez megoldása a rendszernek, hacsak teljesül rá (3), azaz ha

u \neq 0

v \neq 0

és

| u | \neq | v |

.
(9) teljesülése meghatározza az ismeretlenek (11) arányát, onnét

q

-t (1)-be helyettesítve, majd az adódó másodfokú egyenlet

p = 0

gyökét mindjárt figyelmen kívül hagyva:

\begin{matrix} u p + v (1 \pm \sqrt[]{2}) p = - 4 p^{2} (1 \pm \sqrt[]{2}), \\ p = \frac{u + (1 \pm \sqrt[]{2}) v}{- 4 (1 \pm \sqrt[]{2})} = \frac{1}{4} [(1 \mp \sqrt[]{2}) u - v], & (13) \end{matrix}

végül (11) alapján

\begin{matrix} q = \frac{1}{4} [- u - (1 \pm \sqrt[]{2}) v] . \end{matrix}

(14)

Ez megoldása a rendszernek, ha teljesül rá (3). A kizárt

p = 0

q = 0

p - q = 0

p + q = 0

esetek mindegyike erre vezet:

v \neq u (1 \mp \sqrt[]{2})

. (Ez azt jelenti, hogy

u = v = 0

is ki van zárva.)

III. Összefoglalva, adott

p

q

értékpár esetén egyértelműen

\begin{matrix} u = \frac{p^{2} - q^{2}}{p}, v = \frac{p^{2} - q^{2}}{q}, ha p q (p^{2} - q^{2}) \neq 0 és q \neq (1 \pm \sqrt[]{2}) p . \end{matrix}

Ha pedig

q = (1 \pm \sqrt[]{2}) p

és

p q (p^{2} - q^{2}) \neq 0

, akkor tetszés szerinti

\begin{matrix} u = \frac{1}{p} [2 (p^{2} - q^{2}) - q v], v \end{matrix}

kielégíti a rendszert, végtelen sok megoldás van.
Másrészt, adott

u

v

értékpár esetén egyértelműen

\begin{matrix} p = \frac{u v^{2}}{v^{2} - u^{2}}, q = \frac{u^{2} v}{v^{2} - u^{2}}, ha u v (u^{2} - v^{2}) \neq 0, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} p = \frac{1}{4} [(1 \mp \sqrt[]{2}) u - v], q = \frac{1}{4} [- u - (1 \pm \sqrt[]{2}) v] \end{matrix}

v \neq u (1 \mp \sqrt[]{2})

. Vagyis általában 3 megoldás van; ha azonban

v / u

értéke

\pm 1

, vagy

1 \mp \sqrt[]{2}

, akkor 2 megoldás van, föltéve, hogy

u v \neq 0

. Ha

u

v

egyike, pl.

u = 0

, akkor

\begin{matrix} p = - \frac{v}{4}, q = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{2}}{4} v \end{matrix}

alakban ugyancsak 2 megoldást kapunk.

u = v = 0

esetén nincs megoldása a rendszernek.
Fiala Tibor (Budapest, II. Rákóczi F. g. II. o. t.)
Szabados Katalin (Budapest, Berzsenyi D. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A

p

q

ismeretlen-párra az alábbiak szerint is megoldhatjuk a rendszert. (2)-ből, (1) figyelembevételével

\begin{matrix} \frac{(p + q) v - (p - q) u}{p^{2} - q^{2}} = \frac{2 (p + q) v - 2 (p - q) u}{p u + q v} = \frac{p^{2} + q^{2}}{p q}, \end{matrix}

beszorozva,

0

-ra redukálva, alkalmas kiemelésekkel, végül gyöktényezőkre bontással (felhasználva (11)-et)

\begin{matrix} 2 p q (q v - p u) + (p^{2} - q^{2}) (q v - p u) = 0, \\ (p^{2} + 2 p q - q^{2}) (q v - p u) = 0, \\ [q - (1 + \sqrt[]{2}) p] [q - (1 - \sqrt[]{2}) p] (q v - p u) = 0. & (15) \end{matrix}

Az egymás utáni tényezőket

0

-val egyenlővé téve

q

-t kifejezhetjük

p

-vel, így

p

-t kiszámíthatjuk (1)-ből.

q = (1 \pm \sqrt[]{2}) p

esetén, a

p = 0

gyököt mindjárt figyelmen kívül hagyva

\begin{matrix} p = \frac{u + (1 \pm \sqrt[]{2}) v}{- 4 (1 \pm \sqrt[]{2})} = \frac{1}{4} [(1 \mp \sqrt[]{2}) u - v], \end{matrix}

q = p u / v

esetén pedig hasonlóan (12)-t kapjuk.
(15) harmadik tényezőjében (3) miatt nem lehet

u / v = \pm 1

, ha pedig

u / v = 1 \pm \sqrt[]{2}

, akkor a harmadik tényező azonos az első kettő valamelyikével, innen nem kapunk újabb megoldást.