Kezdőlap


Feladat:	1514. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barcza Gyöngyi , Bodor István , Sergyán Stefánia
Füzet:	1967/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Magasabb fokú egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1514. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $a_{n}$ sorozat különbsége $d$ , a $g_{n}$ sorozat hányadosa $q$ , így a követelmények:

\begin{matrix} 1 + 2 d = q^{2} \neq 1, {(1 + 20 d)}^{5} = q^{20} . \end{matrix}

A második egyenletből

5

-ik gyököt vonva, majd felhasználva az elsőt:

\begin{matrix} 1 + 20 d = q^{4} = {(q^{2})}^{2} = {(1 + 2 d)}^{2} = 1 + 4 d + 4 d^{2} \end{matrix}

(csak a valós gyököt vettük figyelembe), és innét

\begin{matrix} d = 4, q = \pm 3. \end{matrix}

d = 0

gyök a kizárt

g_{3} = q^{2} = 1

értékre vezet.) Valóban, így

a_{3} = g_{3} = 9

a_{21} = 81 = {(\pm 3)}^{4}

, és

a_{21}^{5} = {(\pm 3)}^{20} = g_{21}

, mindkét mértani sorozatban.
Az

a_{n}

sorozat minden tagja pozitív, a

g_{n} = 3^{n - 1}

és

g'_{n} = {(- 3)}^{n - 1}

sorozatok pozitív tagjai pedig közösek, ezért elég

a_{n}

-nel és

g_{n}

-nel foglalkoznunk.
Csak páratlan indexű tagokra állhat fenn a kívánt egyenlőség, ugyanis ha

n = 2 r

, akkor

\begin{matrix} g_{2 r} = 3^{2 r - 1} = 3 + 3 \cdot (3^{2 (r - 1)} - 1) = 3 + 3 \cdot (3^{r - 1} - 1) (3^{r - 1} + 1) . \end{matrix}

Itt a két zárójeles kifejezés páros, s így

g_{2 r}

4

-gyel osztva

3

-at ad maradékul,

a_{2 r}

viszont

1

-et s így minden hatványa is.
Legyen a továbbiakban

n = 2 r + 1

(

r

és minden további betű is pozitív egész számot jelöl). Olyan

r

-et és

k

-t kell keresnünk, amelyre

\begin{matrix} {(1 + 8 r)}^{k} = 3^{2 r} = 9^{r} . \end{matrix}

(1)

Ehhez a bal oldali alapnak

3

hatványának kell lennie, és láttuk, hogy ekkor csak páros hatványa lehet

\begin{matrix} 1 + 8 r = 3^{2 s} = 9^{s}, \end{matrix}

továbbá ezt (1)-be beírva,

k s = r

-nek kell teljesülnie. Olyan

s

értéket keresünk tehát, amelyre

\begin{matrix} 1 + 8 k s = 9^{s}, \end{matrix}

vagyis amelyre

9^{s} - 1

osztható

8 s

-sel. Ha ez fennáll, akkor

k = (9^{s} - 1) / 8 s

n = 2 r + 1 = 2 k s + 1 = (9^{s} + 3) / 4

értékekre

a_{n}^{k} = {[1 + 4 (n - 1)]}^{k} = 9^{k s} = 3^{n - 1} = g_{n}

s = 1

és

2

-re fennáll az oszthatóság és éppen a feladat szövegében említett

n = 3

és

21

eseteket kapjuk. Világos, hogy

s = 3

és semmilyen

3

-mal osztható

s

érték nem felel meg, mert

9^{s} - 1

nem osztható

3

-mal.

s = 4

ismét megfelel, mert

\begin{matrix} 9^{4} - 1 = (9 - 1) (9 + 1) (9^{2} + 1) \end{matrix}

osztható

32

-vel. Ekkor

k = (9^{4} - 1) / 32 = 5 \cdot 41 = 205

n = 2 \cdot 205 \cdot 4 + 1 = 1641

.
Ugyancsak megfelel

s = 8

is, mert

\begin{matrix} 9^{8} - 1 = (9^{4} - 1) (9^{4} + 1), \end{matrix}

és itt az utolsó tényező páros, tehát a szorzat osztható

32 \cdot 2 = 4 \cdot 16

-tal. Így

\begin{matrix} k = \frac{9^{8} - 1}{64} = \frac{9^{4} - 1}{32} \cdot \frac{9^{4} + 1}{32} = 205 \cdot 3281 = 672 605, \\ n = 672 605 \cdot 16 + 1 = 10 761 681 \end{matrix}

is kielégíti a feladat feltételeit.

Sergyán Stefánia (Zalaegerszeg, Csányi L. közg. t. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A fentiek mintájára adódik, hogy minden megfelelő

s

értéknek a kétszerese is megfelelő, hiszen ha

9^{s} - 1

osztható

8 s

-sel, akkor

9^{2 s} - 1 = (9^{s} - 1) (9^{s} + 1)

osztható

8 \cdot 2 s

-sel, mert

9^{s} + 1

páros. Így

s

lehet

2

-nek bármelyik hatványa, tehát végtelen sok megoldás van.

Bodor István (Veszprém, Lovassy L. g. III. o. t.)

2. Tévesen állították többen, hogy ez az összes megoldás, hiszen pl.

9^{10} - 1

osztható

9^{2} - 1 = 8 \cdot 10

-zel, tehát

s = 10

is megoldáshoz vezet (

k = 43 584 805

n = 871 696 101

Barcza Gyöngyi (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.)

3. Ezzel együtt minden megfelelő páros

s

érték

5

-szöröse is megfelelő, mert

\begin{matrix} 9^{5 s} - 1 = (9^{s} - 1) (9^{4 s} + 9^{3 s} + 9^{2 s} + 9^{s} + 1), \end{matrix}

és a második zárójelben minden tag utolsó jegye

1

, tehát az összegé

5

(mert

s

páros), az első tényező pedig feltétel szerint osztható

8 s

-sel.
Megadható számos további megfelelő

s

értéksorozat is.