Kezdőlap


Feladat:	1513. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barbarits András
Füzet:	1967/október, 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Prímszámok, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1513. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy csapásra ellenőrizhetjük az oszthatóságra vonatkozó állításokat a tízes számrendszerben és eldönthetjük a kérdéseket a kilences számrendszerben úgy, hogy az osztásokat tetszés szerinti $A$ alapú rendszerben végezzük el. A tíz, illetve tizenkét ( $A - 1$ )-es számjeggyel leírt szám az $A$ alapú rendszer legnagyobb tíz, illetve tizenkét jegyű száma, tehát 1-gyel kisebb, mint a tizenegy, ill. tizenhárom jeggyel írt számok legkisebbike: $A^{10}$ , ill. $A^{12}$ ; így az osztandók:

\begin{matrix} A^{10} - 1 = (A^{5} - 1) (A^{5} + 1), ill. A^{12} - 1 = (A^{6} - 1) (A^{6} + 1) . \end{matrix}

Az osztók viszont, könnyen fölismerhető mértani sorozat összegeként:

\begin{matrix} A^{4} - A^{3} + A^{2} - A + 1 = \frac{A^{5} + 1}{A + 1}, A^{4} - A^{2} + 1 = \frac{A^{6} + 1}{A^{2} + 1}, \end{matrix}

ennélfogva a hányados mindkét esetben egész szám:

\begin{matrix} (A^{5} - 1) (A + 1), ill. (A^{6} - 1) (A^{2} + 1), \end{matrix}

az oszthatóság bármely számrendszerben fennáll, a legkisebb lehetséges

A = 2

alapszám esetében is, mert számjegyként ‐ együtthatóként ‐ csak

+ 1

és

- 1

fordul elő.
Az osztók prímszám voltára vonatkozó kérdésre a válasz

9^{4} - 9^{3} + 9^{2} - 9 + 1 = 5905

esetében: ,,nem igaz'', ez az osztó többszöröse 5-nek,

9^{4} - 9^{2} + 1 = 6481

esetében: ,,igaz'', 6481 prímszám, mert nem osztható a négyzetgyöke egész részénél, 80-nál kisebb prímszámok egyikével sem.

Barbarits András (Budapest, I. István g. I. o. t.)

Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy a tízes számrendszer bármely 9-re végződő számát véve alapszámnak,

A^{4} - A^{3} + A^{2} - A + 1

mindig osztható 5-tel. ‐ Az

A^{4} - A^{2} + 1

kifejezés sem mindig prím, pl.

A = 6, 7, 8, 11

esetében összetett szám.