A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az ábra háromszögeiben szereplő közös, ill. egyenlő oldalak és közös, ill. egyenlő szögek reményt nyújtanak arra, hogy az összefüggésekben felhasznált fölösleges alkotórészek kiküszöbölésével célhoz érünk. ‐ Az állítás értelmét veszti, ha a kör átmegy -n, ezért ezt az esetet kizárjuk. Ekkor , , különböző pontok és az háromszög hasonló az háromszöghöz, mert szögeik páronként egyenlők, hiszen az , egyenespár a körnek két szelője. Legyen , , továbbá , , az utóbbiak rendre azonosak vagy csúcsszögek a , ill. szöggel aszerint, hogy a körre nézve külső, ill. belső pont.
1. ábra
2. ábra Fejezzük ki -t, -t a színusz‐tétel alapján az , ill. háromszögből és alakítsuk arányukat az alábbiak szerint:
(Az arány tagjait szoroztuk -gyel, majd a színusz tételt alkalmaztuk az háromszögre.) Hasonlóan az és , majd ismét az háromszög alapján
Mivel pedig , azért Ezt (2) utolsó arányába helyettesítve és az arány tagjait egyaránt -vel szorozva az (1) állítást kapjuk. Bizonyításunk akkor is érvényes, ha a kör érinti p1. az egyenest, és így helyén is értendő, sőt akkor is, ha ugyanígy még is egybeesik -vel. Az utóbbi esetben azonban az állítás nyilvánvaló, mert az háromszög egyenlő szárú, másrészt azonos -fel. Horváth Sándor (Budapest, I. István g. III. o. t.)
II. megoldás. Húzzunk párhuzamost -vel -n és -n át, és messék ezek -et a , íll. pontban. Ekkor a , , a , , valamint az , hasonló háromszög‐párokból | | ugyanis paralelogramma, és így . Fischer Ágnes (Budapest, Móricz Zs. g. I. o. t.)
III. megoldás. Húzzunk párhuzamost -vel -n és -n át, és messe ez -t -ben, ill. -t -ben. Ekkor nyilvánvalóan felezi -t és -t, a trapéz két párhuzamos oldalát, ezért átmegy az átlók metszéspontján is. A átló -ben metszi -et, így -n átmegy is. Hasonló háromszögekből Az , és háromszögek hasonlók, ebből és ezek összeszorzásával Göndőcs Ferenc (Kapuvár, II. sz. Ált. Isk., 8. o.t.)
|