A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) A szögfelező átmegy a beírt kör középpontján és merőleges -re ezért elég azt belátnunk, hogy is, is merőleges -ra. Ha rajta van -n, akkor a háromszög egyenlő szárú: , a szimmetriatengely, és , azonos -vel, és azonos a egyenessel.
esetén válasszuk a betűzést úgy, hogy legyen, ekkor az -nak -t tartalmazó partján van, ezért a háromszögön kívül adódik, viszont a belsejében.
Az szakaszt -ből és -ből egyenlő szögben látjuk, ugyanis a szimmetria és az háromszög egyenlő szárú volta miatt eszerint , , és egy kör pontjai. Másrészt az első három ponton átmenő, egyértelműen meghatározott kör átmegy -n is, mert és derékszögek, s így az deltoid húrnégyszög, és e körben átmérő. Ezért a derékszög, s ezt akartuk bizonyítani. A derékszög voltát lényegében ugyanígy bizonyítjuk, de figyelembe véve, hogy , azaz szétválasztja -t és -t. Az négyszög -nél levő külső szögére: | | tehát a négyszög húrnégyszög, másrészt körülírt köre , , miatt átmegy -n, ezért , derékszög.
b) Tekintsük az háromszögnek azt a külső érintő körét, amely a oldalt a háromszöget nem tartalmazó partján, az pontban érinti, középpontja legyen . Legyen az , félegyenesen levő érintési pontja , és messe az egyenest a pontban, a -ban. Érvényes a feladat állításának megfelelője: , és ez a fentiekhez hasonlóan bizonyítható. S mivel eszerint pl. is, is a csúcs vetülete az -ból induló belső szögfelezőn, e két pont azonos. (Az is fennáll, hogy -ban és merőlegesen metszi egymást, hiszen merőlegesek a -beli belső, ill. külső szögfelezőre.)
c) Legyen végül az oldalt kívülről érintő , kör középpontja , érintési pontja a , , egyenesen rendre , , , továbbá -nek és -nek az külső szögfelezőn levő metszéspontja , ill., ekkor hasonlóan bizonyítható, hogy .
Szenes Katalin (Budapest, I. István Gimnázium) Takács László (Sopron, Széchenyi I. Gimnázium)
Megjegyzés. Az állítás háromszögek hasonlósága alapján is bizonyítható, ezt -ra vonatkozóan vázoljuk, a szokásos jelöléseket használjuk. egyenlő szárú háromszög, ezért , , így , tehát . Innen emiatt az -nál egyenlő szöggel bíró és háromszögek is hasonlók, az utóbbiban -nél derékszög van, tehát az is derékszög.
|