|
Feladat: |
1507. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bajmóczy E. , Battha L. , Berács J. , Berkes Z. , Bulkai T. , Csörgei J. , Csörgő Piroska , Draschitz R. , Döme Éva , Fiala T. , Gegesy F. , Hunyadvári L. , Juhász Ágnes , Kas Péter , Kocsis F. , Koren A. , Külvári I. , Lublóy L. , Mérő L. , Moson P. , Munk S. , Orbán G. , Pap Márta , Perémy G. , Pintz J. , Rácz Éva , Sergyán Stefánia , Somos E. , Sugár L. , Szenes Katalin , Szűcs A. , Takács L. , Tóth Tibor , Varsányi Anikó , Vass Erzsébet , Végvári L. , Vetier A. |
Füzet: |
1967/november,
126 - 128. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/január: 1507. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. (2) bal és jobb oldala különbségének, valamint a (3) és (4) két oldalán álló különbségeknek közös alakja | | (5) | (ugyanis I.-nek és II.-nek csak esetén van értelme). (I) nevezője zárójelbeli tényezője az I.-ben és II. -ben szereplő helyen eltűnik, előtte negatív, utána pozitív. S mivel értéke mellett | | azért (5) nevezőjében a két zárójelbeli tényező mindegyik , számpárunk esetében egyenlő előjelű, tehát szorzatuk mindig pozitív. Ugyanez áll (5) számlálójára is ‐ ennélfogva (5) mindig pozitív ‐, ugyanis a feltevés folytán , továbbá mindig , hiszen (2) esetében , , és mindig áll (3) és (4) esetében pedig mindig . ‐ Ezzel (2)-t máris bebizonyítottuk. (3) és (4) bizonyításához ‐ mivel két oldaluk (5) szerinti átalakításában a számláló közös és pozitív ‐ csak a nevezők változó része közti
egyenlőtlenséget kell belátnunk. Ezek abból adódnak, hogy a tényezők abszolút értéke rendre a számvonal , , , , ill. , , , abszcisszájú pontja és minden esetben a pont közti távolság, és a feltevések folytán az I. esetben a () bal oldalán, a II. esetben pedig a () jobb oldalán álló 2‐2 távolság rendre nagyobb, mint a másik oldalon álló megfelelő távolság (1. ábra). ‐ Ezzel a bizonyítást befejeztük. 1. ábra Kas Péter (Budapest, Szinyei Merse P. g. IV. o. t.) Pap Márta (Budapest, Kölcsey F. g. III. o. t.) Megjegyzés. Szemléljük a bebizonyított állításokat a , eset példáján, a jól ismert függvényen. Ekkor (2) szerint (1) az és értelmezési tartomány mindkét összefüggő részében külön-külön csökkenő.
2. ábra (3) és (4) e részek két-két egyenlő, ti. hosszúságú intervallumában bekövetkezett csökkenéseket hasonlítják össze, mindig a nagyobb függvényértékekből a kisebbet vonva ki. Az I. esetben , a II.-ban van közelebb az szakadási helyhez, és (3) és (4) azt fejezi ki, hogy a mondott csökkenés a szakadási helyhez közelebb eső -intervallumban nagyobb. (3)-at és (4)-et -nal osztva az egyenlőtlenségek iránya változatlan marad, és azt kapjuk, hogy a görbe egyenlő vetületű húrjainak meredeksége csökken, míg a szakadási helyhez balról közeledünk, és nő, miután e helyet átléptük. |
|