Kezdőlap


Feladat:	1506. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Siklósi István
Füzet:	1967/október, 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 1506. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen a sorozat $n$ -edik tagja $a_{n}$ . A definíció szerint $n \geq 2$ esetén

\begin{matrix} a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{4} . \end{matrix}

(1)

Ezt alkalmazva a számláló tagjaira

n - 1 \geq 2

, azaz

n \geq 3

esetén

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{4} (\frac{a_{n - 2} + a_{n}}{4} + \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{4}) = \frac{1}{16} (a_{n - 2} + 2 a_{n} + a_{n + 2}) . \end{matrix}

Ezt

a_{n}

-re megoldva a keresett összefüggés:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{14} (a_{n - 2} + a_{n + 2}) . \end{matrix}

(2)

II. Hasonlóan (2) alapján,

n - 2 \geq 3

, azaz

n \geq 5

esetén

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{14} (\frac{a_{n - 4} + a_{n}}{14} + \frac{a_{n} + a_{n + 4}}{14}), & a_{n} = \frac{1}{194} (a_{n - 4} + a_{n + 4}); & (3) \\ a_{n} = \frac{1}{194} \cdot \frac{a_{n - 8} + 2 a_{n} + a_{n + 8}}{194}, & a_{n} = \frac{a_{n - 8} + a_{n + 8}}{37 634}, & (4) \end{matrix}

n - 4 \geq 5

, azaz

n \geq 9

. A megadott tagok indexeinek különbsége éppen

9 - 1 = 8

, másrészt a keresett tag és az adott tagok indexének különbsége 8-nak többszöröse, így (4) felhasználásával a közbülső tagok meghatározása nélkül célhoz érhetünk, csak

a_{17}

-et kell kiszámítanunk. (4)-ből

\begin{matrix} a_{n + 8} & = 37 634 a_{n} - a_{n - 8}, eszerint \\ a_{17} & = 37 634 \cdot 40 545 - 1 = 1 528 870 529, \\ a_{25} & = 37 634 \cdot a_{17} - a_{9} = 57 424 611 447 841. \end{matrix}

Siklósi István (Budapest, Berzsenyi D. g. III. o. t.)

Megjegyzés. (3), majd (2), végül (1) alapján

a_{5} = 209

a_{3} = 15

a_{2} = 4