Kezdőlap


Feladat:	1505. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Eteli Ferenc
Füzet:	1967/október, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 1505. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$α$ ) Ha $b$ , $c$ , $d$ , $e > 0$ , akkor az előírt műveletek minden valós $x$ -re értelmezve vannak $x = 0$ kivételével. Legyen még $a > 0$ . Egyenlő számok ugyanazon alapú logaritmusai is egyenlők, így

\begin{matrix} lg a + x lg b + 2 x lg c = \frac{lg d}{3 x} + \frac{lg e}{4 x} . \end{matrix}

Innen rendezéssel

\begin{matrix} (lg (b c^{2})) \cdot x^{2} + (lg a) \cdot x - (\frac{1}{3} lg d + \frac{1}{4} lg e) = 0. \end{matrix}

(2)

Ez valóban másodfokú egyenlet, és gyökei valósak, ha

\begin{matrix} lg (b c^{2}) \neq 0, azaz b c^{2} \neq 1, és & (3) \\ D = lg^{2} a + (lg (b c^{2})) \cdot (\frac{4}{3} lg d + lg e) \geq 0. & (4) \end{matrix}

b c^{2} = 1

, de

a \neq 1

, akkor (2) elsőfokú egyenlet, gyöke valós. Végül

b c^{2} = a = 1

esetén már (1) bal oldala 1, ha még

\sqrt[^{3}]{d} \cdot \sqrt[^{4}]{e} = 1

is teljesül, akkor (1)-et minden

x \neq 0

valós szám kielégíti, az ellenkező esetben pedig nincs megoldás.

β

) Az I. értékrendszer esetében (3) és (4) teljesül, a gyökök:

x_{1} \approx - 0, 624

x_{2} \approx 0, 464

.
A II. rendszer esetében (4) nem teljesül, nincs valós megoldás.

Eteli Ferenc (Pannonhalma, Bencés g. I. o. t.)