Feladat: 1504. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baróthy B. ,  Berács J. ,  Borzsák P. ,  Bulkai T. ,  Csörgei J. ,  Draschitz R. ,  Fiala T. ,  Gegesy F. ,  Gellért János ,  Göndőcs Ferenc ,  Juhász Ágnes ,  Kele A. ,  Koren A. ,  Missura Éva ,  Moson P. ,  Munk S. ,  Nádai L. ,  Perémy G. ,  Printz J. ,  Takács L. ,  Tamási P. 
Füzet: 1968/május, 205 - 206. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengely körüli forgatás, Transzformációk szorzata, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/december: 1504. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A T szabályos tetraéder csúcsait az F, B, K, J betűkkel megkülönböztetve a szóban forgó 12 elfordítás ‐ miközben T-t önmagával fedésbe viszi át ‐ a 4 betűből viszont csupa különböző helyzetet állít elő. Ugyanis a magasságvonalak körüli 2‐2 elfordítás mindig 1‐1 betűt a helyén hagy ‐ mindegyik pár másik-másik betűt ‐, a többi hármat pedig egymástól különböző módon más-más betű helyére viszi. Az élfelező pontpárokat összekötő tengelyek körüli 180∘-os elfordítások egyetlen betűt sem hagynak a helyén hiszen páronként fölcserélik őket ‐, és egymástól különböző helyzeteket hoznak létre, mert az ábra F csúcsát rendre másik-másik alapcsúccsal cserélik föl. Végül az 1-gyel jelölt forgás mind a négy betűt a helyén hagyja.

 

 

Láttuk másrészt az idézett 1432. feladatban, hogy egy megbetűzött T-modellt ugyancsak 12 különböző módon lehet úgy elhelyezni, hogy ‐ alkalmas eltolás útján ‐ fedésbe lehessen hozni egy vele egybevágó, rögzített modellel. Ezek szerint a 12 forgatás és a 12 helyzet (H1,H2,...,H12) kölcsönösen és egyértelműen párokba rendezhető (2. ábra; a mondott eltolásokra csak avégett van szükség, hogy a helyzeteket önálló rajzokon mutathassuk be; ettől eltekintve a 12 helyzet éppen a 12 forgatás útján áll elő.
 

 

Ezek alapján az állítás már magától értetődő, hiszen két ‐ vagy akárhány ‐ egymás utáni forgás a megengedett forgások közül, T-t önmagába viszi át. A lehetséges forgás-párok eredményét egy lépésben megvalósító forgás jele a táblázatban olvasható. Pl. a k2 jelű sor és a j2 jelű oszlop közös mezején b1 áll, mert k2 a H1 helyzetből H5-öt állítja elő, ebből pedig j2 a H11-et, ugyanis a jobbról látható P csúcsot a helyén hagyja, az ezzel szemben levő lap Q, S, R csúcsait 240∘-kal rendre R, Q, S helyére. (Az elfordítás irányát ugyanúgy értjük, mint az 1432. feladatban: P-ből a QSR lap felé nézve, pozitív irányban.) Eszerint Q visszajut eredeti helyére, a szemben levő lap P, R, S csúcsai pedig R, S, P helyére fordulnak, ami 120∘, ez pedig a b1 elfordulás. ‐ A táblázat fejrovata (vagyis a sorok és oszlopok megjelölése) céljára felhasználhatók az első oszlop, ill. az első sor bejegyzései, mert az,,1'' jelű forgatást akár egy másik forgás előtt, akár egy másik után végrehajtva eredményül azt kapjuk, amit ez a másik forgás önmagában létrehoz.
 

  Gellért János (Budapest, Radnóti M. Gy. G.)
 

  Göndőcs Ferenc (Kapuvár, II. sz. Ált. Isk.)